Смол интерпретация: Страница не найдена

Шаг: публичные выступления / речевое общение

Щиток приборов

SPCH PPTs Text LearAct

Участок

Перейти к содержанию Щиток приборов

• Авторизоваться

• Приборная панель

• Календарь

• Входящие

• История

• Помощь

Закрывать
• Мой Dashboard
• SPCH PPTs Текст LearAct
• Страницы
• Шаг
• Главная
• Задания
• Страницы
• Файлы
• Программа
• Модули
• Сотрудничество
• Значки

Иерархическая байесовская модель кадрирования поля

С появлением данных отслеживания высоты тона с высоким разрешением (PITCHf / x) многие в сообществе саберметров пытались количественно оценить способность ловца мячей Высшей лиги бейсбола «кадрировать» поле (т.е. увеличить шанс того, что подача будет названа забастовкой). Особенно в последние 3 года в популярной прессе наблюдается всплеск интереса к «искусству кадрирования поля», а также признаки того, что команды рассматривают возможность кадрирования при принятии решений о составе. Мы вводим байесовскую иерархическую модель для оценки вероятности объявления страйка каждым судьей, с учетом участников поля, местоположения поля и контекстной информации, такой как счет. Используя нашу модель, мы можем оценить влияние каждого кетчера на шансы арбитра объявить страйк.Затем мы можем перевести эти оценочные эффекты в средние количества пробежек, сэкономленных за сезон. Мы также вводим новую метрику, аналогичную метрике Spatially Aggregate Fielding Evaluation Дженсена, Ширли и Винера, которая обеспечивает более честную оценку воздействия фреймов.

1 Введение

Нью-Йорк Янкиз и Хьюстон Астрос сыграли друг с другом в игре «Уайлд Кард» Американской лиги в октябре 2015 года, и победитель прошел в следующий раунд плей-офф Высшей бейсбольной лиги.Во время и сразу после игры несколько фанатов Янки обратились в социальные сети, выразив разочарование по поводу того, что судья домашней площадки Эрик Купер не отбивал мячи и удары последовательно для обеих команд, тем самым ставя Янки в явно невыгодное положение. Даже игроки в игре возражали против принятия решения Купером: после удара Янкиз кэтчер Брайан Макканн поспорил с Купером, что он наносил удары на аналогичных площадках, когда Астрос подавал мяч, но мячи, когда играли Янки.На рис. 1 показаны две передачи, брошенные во время игры: одна питчер Астрос Даллас Кеучел, а другая питчер Янкиз Масахиро Танака.

Обе передачи были брошены примерно в одинаковых местах, около нижнего левого угла ударной зоны , прямоугольной области домашней пластины, показанной на рисунке. Согласно официальным правилам, если какая-либо часть поданного мяча проходит через зону удара, судья должен объявить это ударом. Подача Кеучела едва не попала в зону удара, а Танака промахнулся на несколько сантиметров.В результате судья Купер должен был объявить обе передачи равным мячу. Неудивительно, что Купер не придерживался строго официальных правил; предыдущее исследование показало, что решения судей о мячах / ударах могут зависеть от расы или этнической принадлежности питчера (см., например, Parsons et al. 2011; Tainsky, Mills и Winfree 2015), статуса игрока, измеряемого по возрасту или способностям (см. , например, Kim and King 2014; Mills 2014) и их предыдущие звонки (Chen, Moskowitz, and Shue 2016). Во время телетрансляции игры комментаторы предположили, что разница в применении зоны удара Купера заключалась в способности ловца Астроса Джейсона Кастро «кадрировать» поля, ловя их таким образом, чтобы увеличить шанс Купера объявить забастовку (Sullivan 2015 ).

Хотя кадрирование поля привлекало внимание со стороны саберметрического сообщества с 2008 года, оно вызвало огромный интерес в популярной прессе (см., Например, Lindbergh 2013; Pavlidis 2014; Sanchez 2015) и среди официальных лиц команд (см., Например, Drellich 2014; Holt 2014 ) за последние 3 или 4 года из-за его явно большого влияния на успех команды. Согласно Вудруму (2014), большинство исследований фрейминга, в том числе последнее, проведенное Джадджем, Павлидисом и Бруксом (2015) для веб-сайта Baseball Prospectus, показывают, что хороший фреймер в среднем может спасти свою команду до 25 раз. больше, чем у среднего ловца, в течение сезона.Исходя из традиционной эвристики 10 средних раундов на победу (Cameron 2008), эти результаты показывают, что способ, которым хороший фреймер ловит несколько питчей за игру, может стоить целых 2–3 дополнительных выигрыша по сравнению со средним ловцом. Несмотря на якобы большое влияние фрейминга на успех команды, сам фрейм до недавнего времени игнорировался и недооценивался. Санчес (2015) выделяет кетчера Джонатана Лукроя, чьи кадры принесли примерно 2 победы в 2014 году и стоили около 14 миллионов долларов, и пишет, что «самый влиятельный игрок в бейсбол на сегодняшний день занимает 17-е место в рейтинге самых высокооплачиваемых кетчеров в игре.

Возвращаясь к двум точкам на Рисунке 1, Купер, возможно, был более склонен называть питч Кеучела забастовкой из-за кадрирования Кастро. Однако, внимательно посмотрев на рисунок 1, мы видим, что эти два звука совершенно разные, что затрудняет немедленное объяснение разницы в звонках Кастро. Во-первых, подача Кеучела намного ближе к отображаемой зоне удара, чем подача Танаки, и она была выбрана при счете 1–0, в то время как подача Танаки была выбрана при счете 1–1. Мы также отмечаем, что отбивающие, кэтчеры и питчеры, участвующие в каждой подаче, обязательно разные.В частности, Кеучел - питчер-левша, а Танака - питчер-правша. Любой из этих факторов мог способствовать тому, что Купер с большей вероятностью назвал ход Кеучела забастовкой. Конечно, также могло случиться так, что Купер с одинаковой вероятностью назвал оба питча страйком, а разные звонки были просто из-за шума. Это вызывает вопросы: какое влияние Кастро оказал на так называемую вероятность удара Купера, помимо таких факторов, как расположение поля, количество участников и других участников поля? И какое влияние такое влияние оказывает на успех его команды?

Существующие попытки ответить на эти вопросы в целом можно разделить на две категории: те, которые не соответствуют статистическим моделям вероятности вызванного удара, и те, которые соответствуют.Первое систематическое исследование кадрирования (Turkenkopf 2008) попадает в первую категорию. Для каждого ловца он подсчитывает количество ударов, нанесенных на площадках, брошенных за пределами приблизительной зоны удара, введенной Уолшем (2007). Затем Туркенкопф (2008) взял подсчет «дополнительных ударов», полученных каждым ловцом, и преобразовал их в меру сохраненных пробежек, используя свою собственную оценку 0,16 сбережений на один удар. Однако в этом анализе не учитываются другие игроки и судья, участвующие в игре, а также контекст, в котором поле было выбрано (e.грамм. счетчик, дифференциал пробега, иннинг и т. д.). Это упущение может преувеличить очевидное влияние фрейминга, поскольку не сразу ясно, заслуживает ли кэтчер всю заслугу за дополнительный страйк. Совсем недавно Розалес и Спратт (2015) предложили итерационный метод распределения баллов за назначенный удар между отбивающим, ловцом, питчером и судьей. К сожалению, многие аспекты их модели остаются запатентованными, и поэтому статистические свойства их процедуры неизвестны.

Вторая широкая категория исследований фрейминга начинается с подбора статистической модели так называемой вероятности забастовки, которая учитывает вышеуказанные факторы.Вооружившись такой моделью, можно затем оценить прогнозируемую вероятность так называемого удара с ловушкой и без нее. Разница в этих вероятностях отражает очевидный эффект кадрирования ловца на этом поле. Затем оценивают влияние кадрирования, взвешивая эти эффекты по значению «кражи удара» и суммируя все передачи, пойманные ловцом. Марчи (2011) соответствовал модели логистической регрессии со смешанными эффектами, выражая логарифмические шансы вызванного удара как функцию личности участников презентации и взаимодействия между ними.В этой модели систематически не учитывается расположение тангажа, а это означает, что полученные оценки эффектов кадрирования искажены местоположением, как и в случае с Туркенкопфом (2008). Насколько нам известно, наиболее систематической попыткой изучения фрейминга на сегодняшний день является Judge et al. (2015). Они вводят пробит-регрессионную модель со смешанными эффектами, построенную в два этапа: во-первых, они оценивают базовый уровень, называемый вероятностью удара, с использованием проприетарной модели, которая учитывает местоположение, подсчет, маневренность отбивающего и приблизительный уровень.Затем они подбирают модель пробит-регрессии с фиксированным эффектом для этой базовой оценки и случайными эффектами для участников питча. В основе их модели лежит любопытное предположение, что преобразованный пробит, называемый вероятностью забастовки, равен линейному значению в базовой оценке вероятности. Это предположение может привести к чрезмерному усилению питчей с базовыми вероятностями, близкими к 0 или 1 (например, наклоны прямо над основной пластиной или на несколько дюймов за пределами зоны удара), произвольно увеличивая соответствующие точки пересечения и уклоны в окончательной пробит-модели.Это потенциально может привести к очень нестабильным оценкам параметров. Оба Judge et al. Модели (2015) и Марчи (2011) нереалистично предполагают, что судьи различаются только в некоторой базовой скорости объявления ударов и что влияние таких факторов, как расположение поля, влияние счета и игроки, является постоянным для разных судей. В свете этого, мы приступим к подгонке отдельной модели для каждого судьи.

Прежде чем продолжить, введем некоторые обозначения. Для данной взятой подачи пусть y = 1, если это называется страйком, и пусть y = 0, если это называется шаром.Пусть b , ca , co , p и u будут индексами, соответствующими отбивающему, ловцу, счетчику, питчеру и судье на этом поле. Далее, пусть x и z будут горизонтальными и вертикальными координатами шага, когда он пересекает переднюю плоскость домашней пластины, соответственно. Чтобы разместить отдельную модель для каждого судьи u , мы вводим векторы Θ ^{u , B} , Θ ^{u , CA} , Θ ^{u , P} и Θ ^{u , CO} для удержания частичного эффекта каждого отбивающего, улавливающего, счетного и питчера, соответственно, на вероятность объявления страйка судьей и .Для каждого судьи и мы вводим функцию расположения шага, f ^u ( x , z ), которую мы уточним более подробно позже. На высоком уровне мы моделируем

(1) log (P (y = 1) P (y = 0)) = Θbu, B + Θcau, CA + Θpu, P + Θcou, CO + fu (x, z)

Мы используем данные отслеживания подачи с высоким разрешением из системы PITCHf / x, кратко описанные в разделе 2.1, чтобы оценить, насколько кетчер влияет на шансы судей на нанесение ударов и насколько сильно такие эффекты влияют на успех его команды.В разделе 2.3 мы вводим несколько упрощений модели в уравнении 1, которые по-прежнему выявляют неоднородность между арбитром и судьей. Все эти модели вписываются в иерархическую байесовскую структуру, которая обеспечивает естественную количественную оценку неопределенности для наших оценок кадрирования. Такая количественная оценка, которая, в частности, отсутствовала в предыдущих исследованиях фрейминга, имеет жизненно важное значение, учитывая тот факт, что несколько команд принимают решения о составлении кадров на основе фреймов (Drellich 2014; Holt 2014; Sanchez 2015). Мы сравниваем прогнозные характеристики этих моделей в разделе 3.1 и оцените, в какой степени учет количества судей и эффектов игрока приводит к переобучению. Затем мы переводим наши оценки эффектов ловушки из логарифмической шкалы шансов в более традиционную шкалу средних сохраненных прогонов. В разделе 4 мы вводим две метрики, чтобы оценить влияние фреймов на успех команды. В заключение мы обсудим несколько возможных расширений наших усилий по моделированию.

2 Данные и модель

Мы начинаем этот раздел с краткого обзора, адаптированного в основном из Fast (2010) и Sidhu and Caffo (2014), нашего набора данных отслеживания питча перед введением модели иерархической логистической регрессии, используемой для оценки каждого вызванного судьи. вероятность удара.

2.1 PITCHf / x data

В 2006 году телекомпания Sportvision начала предлагать услугу PITCHf / x для отслеживания и цифровой записи полной траектории каждого разбрасываемого поля с использованием системы камер, установленных на стадионе высшей лиги. Во время полета на каждом поле эти камеры делают 27 изображений бейсбольного мяча, а программное обеспечение PITCHf / x подбирает квадратичный полином для 27 местоположений, чтобы оценить его траекторию (Sidhu and Caffo 2014). Эти данные передаются в приложение MLB Gameday, которое позволяет фанатам следить за игрой онлайн (Fast 2010).Помимо сбора данных о траектории подачи, сотрудник MLB Advanced Media записывает информацию о состоянии игры во время каждой подачи. Например, он или она записывает участников поля (отбивающий, улавливающий, питчер и судья), а также результат подачи (например, мяч, удар с размахом, удар), результат бита (например, зачистка, одиночный, хоумран) и любые другие игровые действия (например, замены, бейсраннеры, крадущие базы). Система PITCHf / x также сообщает приблизительные вертикальные границы зоны удара для каждой брошенной подачи.Взятые вместе, данные отслеживания подачи и данные о состоянии игры обеспечивают подробное описание игры с высоким разрешением, доступное через MLB Gameday API.

Хотя наш основной интерес в этой статье заключается в изучении эффектов кадрирования в сезоне 2014 г., мы собрали все данные PITCHf / x за регулярный сезон 2011–2015 гг. В разделе 2.2 мы используем данные за сезоны 2011–2013 гг., Чтобы выбрать функцию расположения шага f ^u ( x , z ) из ​​уравнения 1.Затем мы подбираем нашу модель, используя данные 2014 года, и в разделе 3.1 мы оцениваем прогностическую эффективность нашей модели, используя данные за 2015 год. В сезоне 2014 года было проведено в общей сложности 701 490 веревок, из которых 355 293 (50,65%) были взяты ( т.е. не качался), и из этих взятых передач 124 642 (35,08%) были признаны забастовками. Вместо того, чтобы работать со всеми взятыми тонами, мы ограничиваем наше внимание теми высотой тона, которые «достаточно близки» к исходной тарелке, чтобы их можно было «фреймить». Точнее, мы сначала аппроксимируем приблизительную «среднюю зону удара по книге правил», усредняя границы вертикальных зон удара, записанные системой PITCHf / x для всех игроков и всех полей, а затем сосредоточились на N = 308 388 взятых площадках, которые были в пределах одного фута от этой приблизительной зоны удара.Всего было n _U = 93 судьи, n _B = 1010 отбивающих, n _C = 101 ловец и n _P = 719 питчеров.

2.2 Регулировка местоположения шага

Интуитивно понятно, что местоположение шага является основным фактором, определяющим вероятность вызванного удара. Самый простой способ включить положение шага в нашу модель - включить горизонтальные и вертикальные координаты ( x , z ), записанные системой PITCHf / x в качестве линейных предикторов, так что fu (x, z) = θxux + θzuz , где θxu и θzu - параметры, которые необходимо оценить.Несмотря на простоту, это вызывает нереалистичную монотонность слева направо и сверху вниз на вызванной поверхности вероятности удара. Другой простой подход - использовать представление в полярных координатах, при этом начало координат должно быть центром приблизительной зоны удара по книге правил. Хотя это позволяет избежать любой горизонтальной или вертикальной монотонности, предполагается, что при прочих равных вероятность вызванного удара симметрична относительно этого источника.

Такая симметрия не наблюдается эмпирически, как показано на Рисунке 2, где плоскость над домом делится на квадраты 1 ′ ′, цвет которых соответствует пропорции шагов, брошенных в трехлетнем окне 2011–2013 гг., Которые проходят через квадрат, который называются забастовками.На рисунке 2 также показана средняя зона забастовки из сводов правил, обозначенная пунктирной линией, вертикальные границы которой представляют собой среднее значение верхней и нижней границ, зарегистрированных системой PITCHf / x. Если центр поля проходит через область, ограниченную сплошной линией, то некоторая часть поля проходит через зону приблизительного удара. Эта тепловая карта составлена ​​с точки зрения судьи, так что отбивающие правши стоят слева от домашней пластины (т. Е. Отрицательные значения X), а отбивающие слева - справа (т.е. положительные значения X). Мы отмечаем, что нижний край рисунка останавливается на высоте 6 дюймов от земли, а левый и правый края заканчиваются на расстоянии 12 дюймов от краев основной пластины. Как правило, тесто стоит еще на 12 дюймов справа или слева от отображаемой области. Интересно, что мы видим, что эмпирическая вероятность удара быстро меняется от близкой к 1 до почти 0 всего за несколько дюймов.

Рис. 2:

Тепловая карта эмпирических вероятностей, называемых вероятностями забастовок, агрегированных за трехлетний период 2011–2013 гг.Граница приблизительной зоны забастовки из сводов правил 2014 года показана пунктирной линией. Если центр поля проходит через область, ограниченную сплошной линией, некоторая часть поля проходит через зону приблизительного удара. Красный = 100% называется вероятностью удара, белый = 50% и синий = 0%.

Вместо того, чтобы указывать явную параметризацию в терминах горизонтальных и вертикальных координат, мы предлагаем использовать сглаженную оценку исторических логарифмических вероятностей вызванного удара в качестве неявной параметризации местоположения поля.Это очень похоже на модель Judge et al. (2015), которые включили оценочную вероятность вызванного удара в качестве ковариаты в свою пробит-модель.

На рис. 3 показано пространственное распределение взятых смол с разбивкой по рукам бэттера и питчера. И снова графики нарисованы с точки зрения судей, так что отбивающий правша стоит слева от фигуры и наоборот. Мы сразу видим, что пространственное распределение взятых звуков значительно варьируется в зависимости от комбинации руки отбивающего и питчера.Когда бьющий и питчер имеют одну и ту же руку, мы видим явно более высокую плотность «низких и внешних» полей около нижнего угла среднего удара по книге правил, наиболее удаленного от бьющего. Напротив, в матче между подающим-левшей и подающим-правшей мы видим более высокую плотность подачи, отбрасываемой к внешнему краю зоны удара, дальше от отбивающего. Различия в пространственном распределении питчей, показанные на рисунке 3, побуждают нас использовать отдельную сглаженную оценку исторических логарифмических шансов назначенного удара для каждой комбинации рук бэттера и питчера.

Рисунок 3:

Оценка плотности ядра для местоположения питча на основе руки бэттера и питчера. Фигуры нарисованы с точки зрения судей, так что отбивающие правши стоят слева от отображаемой зоны удара. Более темные области соответствуют более высокой плотности смол, отбрасываемых в эти места.

Вдохновленный Миллсом (2014), мы подобрали обобщенные аддитивные модели с логистической связью с данными, агрегированными с 2011 по 2013 год, по одной для каждой комбинации питчера и бьющего, далее именуемой «hGAM» или «исторический GAMS».Эти модели выражают логарифмические шансы вызванного удара как плавную функцию от местоположения поля. На рисунке 4 показан прогноз hGAM, называемый вероятностями забастовки. Интересно, что мы видим, что для питчеров-правшей соответствующие hGAM, называемые поверхностями вероятности удара, почти совпадают со средней зоной удара по книге правил. Для питчеров-левшей, однако, hGAM прогнозируют высокую вероятность удара в нескольких дюймах левее средней зоны удара по книге правил. Это, пожалуй, наиболее заметно в матче между подающими-правши и питчерами-левшами.Для каждого принятого шага в наборе данных 2014 года мы использовали соответствующий hGAM, чтобы оценить исторические логарифмические шансы того, что питч был назван страйком. Затем мы используем эти оценки в качестве непрерывных предикторов в нашей модели, чтобы потенциальные эффекты игроков и эффекты подсчета можно было рассматривать как корректировки этих исторических базовых показателей.

Рисунок 4:

прогнозов hGAM, основанных на подаче бьющего и питчера. Красный = 100% называется вероятностью удара, белый = 50% и синий = 0%.

2.3 Байесовские модели логистической регрессии

Перед тем, как полностью определить наши модели, мы помечаем 93 судей u ₁ ,…, u ₉₃ .Рассмотрим и -й подачу, и пусть y _i = 1, если он называется страйком, и y _i = 0, если он называется шаром. Пусть h _i будет вектором длины четыре, кодирующим комбинацию руки отбивающего и питчера на этом шаге, и пусть LO _i будет вектором длины четыре, содержащим три нуля и оцененный логарифм. шансы на нанесение удара из соответствующей исторической GAM, основанные на руках бьющего и питчера.Пусть x _i и z _i обозначают координаты PITCHf / x этого шага, мы берем fu (xi, zi) = hi⊤Θ0u + LOi⊤ΘLOu, где ΘLOu - вектор длины четыре записи. частичный эффект местоположения, а Θ0u - это вектор длины четыре, содержащий член перехвата, по одному для каждой комбинации руки отбивающего и питчера. Наконец, пусть и ( и ) обозначают, какой судья назвал эту подачу. Чтобы поместить все переменные в нашей модели примерно в одинаковые шкалы, мы сначала перемасштабируем соответствующие исторические оценки GAM для каждой комбинации рук бэттера и питчера, чтобы получить стандартное отклонение 1.

Наконец, пусть CO _i , CA _i , P _i и B _i будут векторами, кодирующими счетчик, улавливатель, кувшин и тесто, участвующее в этой подаче, и пусть ΘCOu, ΘCAu, ΘPu и ΘBu будут векторами, содержащими частичный эффект отсчета, улавливателя, питчера и бэттера на судью и . Для идентифицируемости мы указываем один уловитель, Brayan Pena, и count, 0–0, в качестве базовых значений.Мы можем переписать модель из уравнения 1 как

log (P (yi = 1) P (yi = 0)) = hi⊤Θ0u (i) + LOi⊤ΘLOu (i) + COi⊤ΘCOu (i) + CAi⊤ΘCAu (i) + Pi⊤ΘPu (i) + Bi⊤ΘBu (i)

Теперь мы готовы представить несколько упрощений этой общей модели постепенно возрастающей сложности. Сначала мы предполагаем, что игроки и счет не влияют на логарифм шансов вызванного страйка (т.е. что ΘCOu, ΘCAu, ΘPu и ΘBu равны нулевому вектору для каждого судьи). Эта модель, далее именуемая «Модель 1», предполагает, что единственным значимым предиктором решения судьи о мяче / ударе является расположение поля, но допускает неоднородность между судьей и судьей.Мы моделируем, априори ,

Θ0u1,…, Θ0u93 | Θ0∼N (Θ0, τ02I4) LOu1,…, ΘLOu93 | ΘLO∼N (ΘLO, τLO2I4) Θ0 | σ02∼N (04) 02∼N | σLO2∼N (μLO, σLO2I4)

Вектор μ _LO принимается как вектор стандартных отклонений прогноза hGAM для каждой комбинации хиральности бэттера и питчера. Таким образом, Модель 1 центрирует априорное распределение логарифмических шансов забастовки на прогнозируемых логарифмических шансах hGAM. Мы можем интерпретировать параметры τ02 и τLO2 как отражающие изменчивость от судьи к судье в эффектах перехвата и местоположения, и мы можем рассматривать Θ ₀ и _LO как средние эффекты перехвата и местоположения, усредненные по всем арбитрам.Помещая следующий уровень предшествующей иерархии на Θ ₀ и _LO , мы визуализируем зависимые Θ0u и ΘLOu, как a priori , так и a posteriori . Таким образом, хотя мы подбираем отдельную модель для каждого судьи, эти модели являются «взаимно информативными» в том смысле, что оценка вектора перехвата судьи и Θ0u, например, будет «сжата» до среднего векторов перехвата всех арбитров на величину, контролируемую τ02 и τLO2.Дальнейшие априорные значения гиперпараметров σ02 и σLO2 также вводят зависимость между компонентами Θ0u и ΘLOu, что позволяет нам «позаимствовать силу» между четырьмя комбинациями хэндовера бэттера и питчера.

Таблица 1:

Прогностическая эффективность по выборке для нескольких моделей.

24

242 9172 9172 9172 9172

Область 1

		Модель 1	Модель 2	Модель 3	Модель 4	Модель 5	hGAM
	# Параметры	744	5	-
Всего	MISS	0.103	0,100	0,099	0,096	0,086	0,105
	MSE	0,073	0,071	0,069	0,068	0,061	0,074
MISS	0,248	0,236	0,232	0,225	0,195	0,258
	MSE	0.163	0,156	0,153	0,150	0,133	0,168
Регион 2	MISS	0,214	0,209	0,205	0,203	0,184 74			MSE	0,153	0,149	0,146	0,144	0,129	0,156

Хотя Модель 1 по существу оценивает отдельную поверхность вероятности удара для каждого судьи, она полностью исключает возможность игрока или подсчитать эффекты.Теперь мы рассмотрим два последовательных расширения Модели 1. В Модели 2 мы включаем эффекты ловли и подсчета, которые считаются постоянными для всех судей. То есть в модели 2 мы предполагаем, что все ΘCOu равны некоторому общему значению Θ _CO , а все ΘCAu равны некоторому общему значению Θ _CA . Точно так же в Модели 3 мы дополняем Модель 2 постоянными эффектами питчера и постоянными эффектами теста. Априори , мы моделируем

ΘCO | σCO2∼N (011, σCO2I11)

и рассматриваем аналогичные сферически-симметричные априорные значения Гаусса с нулевым средним для Θ _CA , Θ _P и Θ _B , сохранив прежнюю спецификацию на Θ0u и ΘLOu.Хотя они развивают Модель 1, Модели 2 и 3 по-прежнему представляют собой значительное упрощение общей модели в Уравнении 1, поскольку они предполагают, что нет изменчивости от судьи к судье в счетах или эффектах игроков. Это приводит нас к рассмотрению Модели 4, которая основывается на Модели 2, позволяя использовать специфические для судьи эффекты подсчета и кетчера, и Модели 5, которая включает специфические для судьи эффекты отбивающего и питчера и соответствует общей модели в уравнении 1 Мы моделируем

ΘCOu1 ,…, COu93 | ΘCO, τCO2∼N (ΘCO, τCO2I11) ΘCOu | σCO2∼N (011, σCO2I11)

и рассмотрим аналогично структурированные априорные иерархии для CAu, ΘBu, ΘPu в моделях 4 и 5.Повсюду мы помещаем независимые гиперприоры обратной гаммы (3,3) на параметры дисперсии верхнего уровня σ02, σLO2, σCO2, σCA2, σP2 и σB2.

Остается указать гиперпараметры τ02, τLO2, τCO2, τCA2, τP2 и τB2, которые отражают изменчивость от судьи к судье в перехвате, местоположении, счете и эффектах игрока. Для простоты мы зафиксируем эти гиперпараметры равными 0,25 в соответствующих моделях. Чтобы мотивировать этот выбор, подумайте, как два судьи назовут подачу, брошенную в месте, где исторический GAM прогнозирует 50% -ную вероятность удара.Согласно Модели 2, разница в логарифмических шансах двух судей на объявленный удар следует распределению N (0,2 (τ02 + τCO2 + τCA2)), a priori . Принятие τ02 = τCO2 = τCA2 = 0,25 отражает предыдущее мнение о том, что вероятность того, что один судья объявит страйк в 75% случаев, составляет менее 10%, а другой - только в 25% случаев. Для простоты также принимаем τLO2 = τB2 = τP2 = 0,25.

3 Производительность и сравнение моделей

3.1 Прогностическая производительность

Мы подбираем каждую модель в Стэн (Карпентер и др.статистика по каждому параметру была <1,1, что свидетельствует о сходимости. Мы продолжали запускать цепочки после этого прогона до тех пор, пока эффективный размер выборки для каждого параметра не превысил 1000. Для моделей 1 и 2 мы обнаружили, что запуска семплера для 4000 общих итераций было достаточно, в то время как для моделей 3, 4 и 5, нам потребовалось 6000 итераций. Время работы этих пробоотборников варьировалось от чуть менее часа (Модель 1) до 50 часов (Модель 5).

Таблица 2:

Прогностическая эффективность вне выборки для нескольких моделей.

24

242 9172 9172 9172 9172

		Модель 1	Модель 2	Модель 3	Модель 4	Модель 5	hGAM
	# Параметры	744	5	-
Всего	MISS	0.107	0,105	0,105	0,106	0,106	0,109
	MSE	0,075	0,074	0,074	0,075	0,074	0,076 0,076	0,075	0,074	0,076	MISS	0,256	0,245	0,244	0,248	0,246	0,267
	MSE	0.167	0,162	0,161	0,163	0,162	0,173
Область 2	MISS	0,236	0,232	0,231	0,233	0,234	0,237 900		MSE	0,169	0,166	0,165	0,166	0,165	0,170

Рис. шкала логарифмических шансов.

Используя смоделированные апостериорные вытяжки из каждой модели, мы можем аппроксимировать среднее значение апостериорного прогнозного распределения вероятности вызванного удара для каждого шага в нашем наборе данных за 2014 год. Таблица 1 показывает ошибочную классификацию и среднеквадратичную ошибку для моделей 1–5 по всем участкам с 2014 года и по двум отдельным регионам, а также ошибку для исторических прогнозов GAM. Область 1 состоит из всех площадок, отбрасываемых в пределах 1,45 дюйма по обе стороны от границы средней зоны удара по правилам, определенной в Разделе 2.1. Поскольку радиус мяча составляет около 1,45 дюйма, все передачи в Области 1 являются «пограничными» в том смысле, что только часть мяча проходит через зону удара, но, как правило, являются ударами. Область 2 состоит из всех площадок, отбрасываемых на расстоянии от 1,45 до 2,9 дюйма за границу средней зоны удара по книге правил. Эти поля не попадают в зону удара на величину от одного до двух ширины мяча, и судья должен называть мячом мячом. Для вычисления ошибки неправильной классификации мы использовали 0.5 как порог для забастовки.

Мы видим, что модели 1–5 превосходят исторические GAM в целом и в обоих регионах 1 и 2. Это неудивительно, учитывая, что hGAM обучались на данных с 2011 по 2013 год, а другие модели обучались на данных 2014 года. Напомним, что Модель 1 учитывала только расположение шага. По мере того, как мы последовательно включаем эффекты счетчика и улавливателя (Модель 2), а также эффектов питчера и отбивающего (Модель 3), мы обнаруживаем, что общая ошибка уменьшается. Наконец, модель 5 имеет лучшую производительность по всем направлениям.Это вполне ожидаемо для Модели 5, учитывая огромное количество параметров.

Конечно, было бы упущением, если бы мы оценивали прогностическую эффективность только с помощью обучающих данных. В таблице 2 сравниваются такие прогностические характеристики вне выборки с учетом участков из сезона 2015 года, для которых соответствующие отбивающий, ловец, питчер и судья фигурировали в нашем наборе данных за 2014 год.

Теперь мы видим, что Модель 3 имеет лучшую производительность вне выборки в целом и в регионах 1 и 2. Тот факт, что модели 4 и 5 имеют худшую производительность вне выборки, несмотря на очень хорошую производительность в выборке, является явный признак того, что эти две чрезмерно параметризованные модели переоценивают данные.Тем не менее, можно возразить, что сравнение эффективности прогнозов на основе данных за 2015 год - не лучший способ диагностировать переобучение. Roegelle (2014), Mills (2017a) и Mills (2017b) задокументировали ежегодные изменения в соблюдении требований судейских зон с тех пор, как в 2009 году Высшая лига бейсбола начала пересматривать и оценивать решения судей. В Приложении B мы сообщаем результаты исследования перекрестной проверки, в котором мы неоднократно повторно подбирали модели 1–5, используя 90% данных 2014 года и оценивая эффективность оставшихся 10%, которые аналогичным образом демонстрируют превосходство Модели 3.

Превосходство модели 3 над моделями 1 и 5 показывает, что, хотя учет эффектов игроков может привести к улучшенным прогнозам вероятности так называемых ударов, мы не можем надежно оценить влияние отдельных кэтчеров на отдельных судей с данными за один сезон.

3.2 Полный апостериорный анализ

Теперь мы исследуем задние образцы из модели 3 более внимательно. На рис. 5 показаны прямоугольные диаграммы апостериорного распределения эффектов улавливания по логарифмической шкале шансов для ловушек с верхними 10 задними средними, нижними 10 задними средними и средними 10 задними средними.

Рисунок 6:

Пятьдесят процентов и 90% контуров для вероятности объявленного удара в матче Бамгарнер-Пуч-Поузи для разных судей в разных подсчетах.

Мы видим, что есть некоторые ловцы, такие как Хэнк Конгер и Бастер Поузи, чьи апостериорные распределения полностью поддерживаются на положительной оси, что указывает на то, что, при прочих равных, судьи с большей вероятностью объявят страйк, когда их поймают эти ловцы. в отличие от базовой линии Brayan Pena.С другой стороны, есть такие ловцы, как Томас Теллис, с явно отрицательными эффектами. Как и следовало ожидать, ловцы, которые очень редко появлялись в нашем наборе данных, имеют очень широкое апостериорное распределение. Например, Остин Ромайн поймал только 61 питч, и его частичный эффект имеет наибольшую апостериорную дисперсию среди всех ловцов. Интересно видеть, что все эффекты ловушки по шкале логарифмических шансов содержатся в интервале [-1,5, 1,5], несмотря на то, что ранее почти 20% вероятности находились за пределами этого интервала.Максимальная разница по шкале логарифма шансов между частичными эффектами любых двух ловушек составляет 3 с высокой апостериорной вероятностью. Для контекста изменение логарифмических шансов на 3 соответствует изменению вероятности с 18,24% до 81,76%. Как оказалось, апостериорное распределение каждого эффекта подсчета также почти полностью поддерживается в интервале [-1,5, 1,5] по логарифмической шкале шансов. Это, казалось бы, наводит на мысль, что эффекты кадрирования улавливателя сопоставимы по величине с эффектом подсчета. Мы исследуем эту возможность более подробно в Приложении C.

Вооружившись нашими смоделированными задними розыгрышами, мы можем создать задние прогностические зоны удара для данного матча бэттер-питчер-кэтчер-судья. Предположим, например, что Мэдисон Бамгарнер подает бэттер Ясиэлю Пуигу, а Бастер Поузи ловит. На рис. 6 показаны контуры 50% и 90% апостериорного прогноза, называемого вероятностью удара, для двух судей, Анхеля Эрнандеса и Майка ДиМуро, и среднего судьи при подсчете 2–0 и 0–2. Обратите внимание: если центр поля проходит в пределах области, ограниченной серой пунктирной линией на рисунке, то некоторая часть мяча проходит через среднюю зону удара по книге правил, показанную серым цветом.Пуиг - правша, отбивающий, это означает, что он стоит на левой стороне примерной зоны удара по правилам, с точки зрения судьи.

По всей доске контуры Эрнандеса охватывают большую площадь, чем контуры среднего судьи, а контуры Димуро охватывают меньшую площадь, чем контуры среднего судьи. Например, по счету 2–0, 50% контур Эрнандеса покрывает 4,37 кв. Фута, средний судья - 3,87 кв. Фута, а ДиМуро - 3,53 кв. Фута. Контуры на поле 0–2 намного меньше , указывая на то, что при прочих равных, эти судьи с меньшей вероятностью объявят страйк на поле 0–2, чем на поле 2–0.Каждый из 50% контуров простирается на несколько дюймов влево или на внутри края приблизительной зоны удара по книге правил. В то же время те же контуры почти не выходят так далеко за правый край или за пределы границы зоны простирания. Это означает, что Эрнандес, ДиМуро и среднестатистические судьи с большей вероятностью объявят удары на площадках, которые не попадают во внутренний край ударной зоны, чем на площадках, которые пропускают внешний край на такую ​​же величину. Даже 90% -ный контур при счете 2–0 простирается на несколько дюймов за внутренний край зоны удара, подразумевая, что Эрнандес, ДиМуро и средний судья почти всегда объявляют удар, который не попадает во внутренний край зоны удара. пока он не слишком высокий или низкий.Интересно, что мы видим, что крайние левые границы Димуро и 90% контуров среднего судьи на поле 0–2 почти совпадают с пунктирной границей на внутреннем крае. Подача, брошенная в этом месте, едва пересекает среднюю зону удара по книге правил, что указывает на то, что, по крайней мере, на внутреннем краю, ДиМуро и судьи в среднем склонны следовать предписаниям книги правил, объявляя удары более 90% времени.

То же самое не верно для верхнего, нижнего или внешнего края. Например, крайний правый угол 90% контура среднего судьи на поле 0–2 находится на несколько дюймов в пределах внешнего края зоны удара.Таким образом, на расстоянии около четырех с половиной дюймов средняя вероятность забастовки судьи резко падает с 90% до 50%, несмотря на тот факт, что согласно сводам правил эти поля должны называться забастовкой.

Рисунок 6 в значительной степени согласуется с эмпирическим наблюдением, что Эрнандес склонен называть гораздо более разрешительную зону удара, чем ДиМуро: Эрнандес назвал 42,67% принятых ударов питча (1624 удара против 2182 мячей), а ДиМуро назвал 39,92% ударов принятых питчей ( 1220 ударов до 1836 мячей).На полях 2–0 процент ударов Эрнандеса увеличился до 51,44% (с 71 удара до 67 мячей), а показатель Димуро увеличился до 48,31% (с 57 ударов до 67 мячей).

4 Влияние кадрирования

Теперь мы обратим наше внимание на измерение влияния кадрирования на игру. Формально, пусть S будет случайной величиной, подсчитывающей количество проходов, которые команда подачи бросила после текущей подачи до конца тайма. Используя обозначения, немного отличающиеся от обозначений в Разделе 2.3, пусть h кодирует руки отбивающего и питчера, и пусть lo будет оценочным логарифмическим коэффициентом нанесенного удара из соответствующей исторической GAM.Пусть b , ca , co , p и u обозначают отбивающего, ловца, счетчика, питчера и судью, участвующих в подаче. Наконец, обозначим базовый уловитель Brayan Pena цифрой ca ₀ . Для компактности пусть ξ = ( u , co , lo , b , p , h ) и обратите внимание, что каждый шаг в нашем наборе данных можно идентифицировать по комбинации ( ca , ξ ).Для каждого ловца ca , пусть 𝒫ca будет набором всех названных питчей, пойманных ловушкой ca :

𝒫ca = {(ca, ξ): ca = ca}.

Наконец, пусть TAKEN будет индикатором того, что текущая подача была взята, и пусть CALL ∈ { Ball , Strike } будет окончательным заявлением судьи. Нас будет интересовать ожидаемая стоимость S при условии ( около , ξ ), тот факт, что подача была сделана, и решение судьи.Предполагая, что обусловлено подсчетом, тем фактом, что тон был принят, и вызов S не зависит от местоположения основного тона и участников, мы имеем

E [S | ca, ξ, TAKEN] = ∑CALLE [S | COUNT, TAKEN, CALL] P (CALL | ca, ξ, TAKEN)

Чтобы определить ожидаемое количество отказов, которые можно отнести к ловушке ок. , мы можем рассмотреть противоречащий фактам сценарий, в котором ловушка заменяется базовым уловителем Brayan Pena, при этом все остальные факторы остаются прежними.В этом сценарии ожидаемое количество пробежек, которые полевая команда бросит в оставшейся части тайма, составляет E [ S∣ ca = ca ₀ , ξ , TAKEN , ЗВОНИТЕ ]. Мы можем интерпретировать разницу

E [S | ca = ca, ξ, TAKEN, CALL] −E [S | ca = ca0, ξ, TAKEN, CALL]

как среднее количество сохраненных запусков (т. Е. Отрицательное число запусков сдано) ловушкой ок. кадрирования относительно базовой линии. Непосредственный расчет показывает, что эта разница в точности равна

f (ca, ξ) = (P (Strike | ca = ca, ξ, TAKEN) −P (Strike | ca = ca0, ξ, TAKEN)) × ρ ( COUNT),

, где

ρ (COUNT) = E [S | COUNT, TAKEN, Ball] −E [S | COUNT, TAKEN, Strike].

Мы можем интерпретировать разницу в вероятности так называемого удара, приведенную выше, как эффект кадрирования от ловушки ca : это именно то, насколько больше ловец добавляет к так называемой вероятности удара арбитров, чем базовый кэтчер, сверх других участники питча, место подачи и счет. Мы можем легко смоделировать приблизительные ничьи из апостериорного распределения этой разницы, используя апостериорные выборки из Модели 3. Мы интерпретируем ρ как значение вызванного страйка в данном подсчете: он измеряет, сколько еще прогонов команда, как ожидается, сделает. вверх, если принятая подача называется мячом, а не ударом.

Таблица 3:

Эмпирические оценки ожидаемой продолжительности цикла и значения цикла со стандартными ошибками в скобках.

0,062 (0,002)

Счетчик	Ball	Страйк	Величина объявленного страйка ρ	Пропорция (%)
0–0	0,367 (0,002)	0,305 (0,002)	36,2
0–1	0,322 (0,002)	0,265 (0,004)	0.057 (0,004)	12,5
0–2	0,276 (0,003)	0,178 (0,007)	0,098 (0,008)	5,5
1–0	0,427 (0,003)	0,324 (0,003)	0,103 (0,005)	11,5
1–1	0,364 (0,003)	0,280 (0,004)	0,084 (0,005)	8,8
1-2	0,302 (0,003)	0,162 (0,006)	0.140 (0,006)	6,9
2–0	0,571 (0,007)	0,370 (0,006)	0,201 (0,009)	3,9
2–1	0,468 (0,005)	0,309 (0,006)	0,159 (0,008)	4,0
2–2	0,383 (0,004)	0,165 (0,006)	0,218 (0,007)	4,8
3–0	0,786 (0,013)	0,481 (0,008)	0.305 (0,015)	1,9
3–1	0,730 (0,010)	0,403 (0,009)	0,327 (0,014)	1,8
3–2	0,706 (0,008)	0,166 (0,008)	0,540 (0,011)	2,1

Чтобы вычислить ρ , мы начнем с вычисления разницы в средних количествах забегов, набранных после вызванного мяча и после назначенного удара в каждом подсчете. Например, в период с 2011 по 2014 год было проведено 182 405 мячей 0–1 (140 667 мячей, 41 738 ударов).Команда на поле бросила в среднем 0,322 пробежек после мяча на занятом поле 0–1, в то время как они отказались в среднем только на 0,265 пробежек после объявленного удара на занятом поле 0–1. Таким образом, при условии выполнения шага 0–1, объявленный удар спасает выставляющую команду в среднем 0,057 пробега. В Таблице 3 показано количество забросов, забитых после вызванного мяча или вызванного удара по каждому счету, а также расчетное значение ρ . Также показана относительная доля каждого подсчета в нашем наборе данных по участкам с 2011 по 2014 год.Мы видим, например, что названный страйк наиболее ценен на поле 3–2, но только 2,1% взятых шагов в нашем наборе данных произошло при подсчете 3–2. Этот расчет очень похож на расчет ожидаемой продолжительности пробега Линдси (1963), хотя наш расчет основан исключительно на подсчете, а не на количестве аутов и конфигурации базового бегуна. Альберт (2010) также вычисляет ожидаемую продолжительность выполнения на основе подсчета, поскольку его оценки выводятся с использованием формулы линейных весов Торна и Палмера (1985), а не простого среднего.См. Более подробное обсуждение ожидаемой продолжительности пробега в Albert (2015).

Средневзвешенная стоимость вызванного страйка на основе таблицы 3 составляет 0,11 прогона, что немного меньше, чем значение 0,14, используемое Judge et al. (2015) и намного меньше, чем значение 0,161, используемое Turkenkopf (2008). Расхождение происходит из-за того, что мы оценивали значения пробежек только на основе взятых полей, в то время как большинство других оценок ударов включают удары с размахом и удары, отнесенные к ошибочным шарам. Здесь стоит подчеркнуть, что в наших последующих расчетах влияния кадрирования мы используем оценку прогона на основе подсчета, а не средневзвешенное значение.

Таблица 4:

Верхние и нижние 10 ловушек в соответствии с задним средним RS.

Рейтинг	Catcher	Сохранено количество забегов (SD)	Интервал 95%	N	BP
1	Miguel Montero	25,71 (5,0,61	) , 35.09]	8086	11,2 (8172)
2	Майк Зунино	22,72 (5,17)	[12.56, 32,31]	7615	20,4 (7457)
3	Джонатан Лукрой	19,56 (5,69)	[8,16, 30,49]	8398	16,4 (8241)
4	Хэнк Конгер	19,34 (3,24)	[12,93, 25,65]	4743	23,8 (4768)
5	Рене Ривера	18,81 (3,69)	[11,63, 25,89]	5091	22.5 (5182)
6	Бастер Поузи	17,01 (4,14)	[8,79, 25,01]	6385	23,6 (6190)
7	Рассел Мартин	14,35 (4,41)	[5,85, 22,77]	6388	14,9 (6502)
8	Брайан Макканн	14,01 (3,95)	[6,18, 21,66]	6335	9,7 (6471)
9	Ясмани Грандал	12.88 (2,98)	[7,18, 18,69]	4248	14,5 (4363)
10	Джейсон Кастро	12,61 (4,43)	[3,80, 21,08]	7065	11,5 (7261) )
92	Джосмил Пинто	−6,49 (1,41)	[−9,32, −3,76]	1748	−6,9 (1721)
93	Welington Castillo	−6,70 ( 4,28)	[-15,19, 1,78]	6667	-15.6 (6661)
94	Крис Яннетта	−7,50 (4,46)	[−16,18, 1,08]	6493	−7,3 (6527)
95	Джон Джасо	- 7,76 (2,41)	[-12,50, -3,07]	3172	-11,3 (2879)
96	Энтони Рекер	-8,37 (2,33)	[-13,29, -3,93]	2935	−13 (3102)
97	Джеральд Лэрд	−8.68 (1,87)	[-12,29, -4,99]	2378	-9,6 (2616)
98	AJ Ellis	-12,90 (3,79)	[-20,10, -5,38]	5476	−12,3 (5345)
99	Курт Сузуки	−17,67 (4,25)	[−26,07, −9,35]	6811	−19,5 (7110)
100	Дионер Наварро	−18,81 (4,68)	[−28,00, −9.40]	6659	−19,8 (6877)
101	Джаррод Сальталамаккья	−23,98 (4,35)	[−32,76, −15,87]	6498	−34 (6764)

Имея в руках наши апостериорные выборки и оценки ρ , мы можем моделировать вытяжки из апостериорного распределения f ( около , ξ ) для каждого шага в нашем наборе данных. Интуитивно понятная мера воздействия кадрирования улавливателя ca , которую мы обозначаем RS для «сохраненных прогонов», составляет

RS (ca) = ∑ (ca, ξ) ∈𝒫caf (ca, ξ).

Расчет RS очень похож на тот, который использовал Judge et al. 2015, чтобы оценить влияние фрейма на игру. Вместо использования фиксированного базового уловителя Judge et al. (2015) сообщает о разнице в ожидаемых сбереженных пробегах по сравнению с гипотетическим средним уловителем. Согласно их модели, Brayan Pena, наш базовый уловитель, ничем не отличался от этого среднего уловителя, поэтому наши оценки RS можно сравнить с результатами Judge et al. (2015). В таблице 4 показаны 10 верхних и нижних ловушек, а также количество шагов в нашем наборе данных, полученных ловцами, а также апостериорное среднее значение, стандартное отклонение и 95% достоверный интервал их значений RS.Также показаны Judge et al. (2015) оценивает количество забегов, сэкономленных для ловцов, а также количество веревок, использованных в их анализе.

Согласно нашей модели, существует небольшая апостериорная неопределенность в отношении того, что эффекты кадрирования 10 лучших уловителей, показанных в таблице 4, оказали положительное влияние на их команды по сравнению с базовыми уловителями. Точно так же, за исключением Велингтона Кастильо и Криса Яннетты, мы вполне уверены, что построение нижних 10 ловцов оказало в целом негативное влияние по сравнению с исходным уровнем.По нашим оценкам, фрейм Мигеля Монтеро спас его команде в среднем 25,71 рана по сравнению с базовым показателем. То есть, если бы он был заменен базовым кетчером на каждой из 8086 названных полей, которые он получил, его команда в среднем отказалась бы от дополнительных 25,71 захода. Неудивительно, что наши оценки воздействия фреймов отличаются от оценок Judge et al. (2015) модель. Это во многом связано с различиями в построении модели, оценке так называемого страйка и наборе проанализированных питчей.Действительно, в некоторых случаях (например, Монтеро и Рене Ривера) они использовали больше питчей, чтобы получить оценку сэкономленных пробежек, в то время как в других мы использовали больше питчей (например, Майк Зунино и Джонатан Лукрой). Тем не менее, наша оценка не полностью несовместима с их оценкой; корреляция между нашими оценками и их оценками составляет 0,94. Более того, если мы перемасштабируем их оценки до того же количества шагов, которое мы рассматриваем, мы обнаружим, что в подавляющем большинстве эти перемасштабированные оценки попадают в наши 95% апостериорные вероятные интервалы.

4.1 Эффект совокупного кадрирования Catcher

Глядя на таблицу 4, возникает соблазн сказать, что Мигель Монтеро - лучший разработчик. В конце концов, он, по оценкам, сэкономил самые ожидаемые серии по сравнению с базовой линией. Однако мы наблюдаем, что Монтеро получил 8086 названных презентаций, в то время как Конгер получил только 4743. Насколько большая разница в предполагаемом количестве сохраненных прогонов связана с их способностями к кадрированию, а какая - с несоответствием в названных передачах, которые они получили?

Наивное решение - изменить масштаб оценок RS и сравнить среднее количество прогонов, сохраненных для каждого шага.Хотя это объясняет различия в количестве полученных передач, это не учитывает тот факт, что Монтеро выступал с другими игроками, чем Конгер, и что пространственное распределение полученных им полей не идентично таковому Конгеру. Другими словами, даже если мы преобразуем результаты Таблицы 4 в основу для каждого шага, результаты все равно будут искажены местоположением шага, подсчетом и участниками шага.

Чтобы преодолеть эту зависимость, мы предлагаем интегрировать f ( около , ξ ) по всем ξ , а не суммировать f ( около , ξ ) по 𝒫ca.Такой расчет аналогичен оценке пространственно-совокупного поля (SAFE) Дженсена, Ширли и Винера (2009). Они объединили среднее количество пробежек, сохраненных игроком, успешно выставляющим мяч, введенный в игру, с расчетной плотностью расположения и скоростью этих мячей, чтобы получить общую метрику игры, не зависящую от недооценки возможностей игроков на поле. Мы предлагаем интегрировать f ( ca , ξ ) против эмпирического распределения ξ и определить «Эффект агрегатного кадрирования Catcher ca » или CAFE как

(2) CAFE (ca ) = 4000 × 1N∑ξf (ca, ξ),

Сумму в уравнении 2 можно рассматривать как количество ожидаемых прогонов, которые сохранит ловец ca относительно базовой линии, если он участвовал в каждом шаге в нашем наборе данных.Затем мы повторно масштабируем это количество, чтобы отразить влияние его кадрирования на 4000 «средних» высот. Мы решили изменить масштаб CAFE на 4000, поскольку среднее количество названных питчей, полученных кетчерами, которые появлялись в более чем 25 играх, было немногим более 3992. Конечно, мы могли легко изменить масштаб на другую величину.

Таблица 5:

10 верхних и нижних улавливателей в соответствии с задним средним значением CAFE.

Рейтинг	Catcher	Среднее (SD)	95% интервал	95% интервал рангов
1	Hank Conger	16.20 (2,72)	[10,84, 21,50]	[1, 11]
2	Кристиан Васкес	14,33 (2,94)	[8,26, 20,03]	[1, 19]
3	Рене Ривера	14,04 (2,76)	[8,75, 19,31]	[1, 18]
4	Мартин Мальдонадо	13,24 (3,33)	[6,73, 19,68]	[1, 24]
5	Мигель Монтеро	12.36 (2,42)	[7,50, 16,90]	[2, 22]
6	Ясмани Грандал	11,90 (2,76)	[6,56, 17,29]	[2, 27]
7	Майк Зунино	11,78 (2,69)	[6,51, 16,74]	[2, 26]
8	Крис Стюарт	11,63 (3,28)	[5,21, 18,03]	[1, 30]
9	Бастер Поузи	11.16 (2,73)	[5,74, 16,51]	[2, 30]
10	Франциско Червелли	10,45 (3,21)	[4,06, 16,72]	[2, 36]
92	Джордан Пачеко	−11,73 (3,80)	[−19,26, −4,30]	[68, 98]
93	Koyie Hill	−11,79 (5,67)	[−22,48 , -0,68]	[53, 100]
94	Джош Фегли	-12.05 (4,66)	[-21,40, -3,20]	[64, 99]
95	Остин Ромайн	-12,76 (9,78)	[-32,14, 5,81]	[30, 101 ]
96	Джаррод Сальталамаккия	−14,00 (2,53)	[−19,11, −9,26]	[82, 99]
97	Бретт Хейс	−14,04 (4,06)	[-21,51, -5,93]	[73, 100]
98	Джеральд Лэрд	-14.96 (3,21)	[-21,17, -8,69]	[81, 99]
99	Джосмил Пинто	-15,04 (3,27)	[-21,57, -8,78]	[82, 100]
100	Карлос Сантана	−22,48 (4,63)	[−31,63, −13,26]	[93, 101]
101	Tomas Telis	−25,06 (3,85)	[-32,41, -17,27]	[98, 101]

Еще раз, мы можем использовать наши смоделированные апостериорные выборки Θ ^u , чтобы смоделировать вытяжки из апостериорного распределения CAFE.В таблице 5 показаны 10 верхних и нижних 10 ловушек, ранжированных в соответствии с апостериорным средним их значения CAFE, а также апостериорное стандартное отклонение и 95% достоверный интервал для их значения CAFE. Также показан 95% интервал каждого предельного ранга ловцов согласно CAFE.

Мы видим, что несколько ловцов из Таблицы 4 также присутствуют в Таблице 5. Новые участники первой десятки, Кристиан Васкес, Мартин Мальдонадо, Крис Стюарт и Франсиско Сервелли, заняли 13, 17, 18 и 19 места в соответствии с рейтингом. Метрика RS.Тот факт, что они так сильно поднялись в рейтинге, когда мы проинтегрировали все ξ , указывает на то, что их первоначальный рейтинг был обусловлен в первую очередь тем фактом, что все они получили значительно меньше передач в сезоне 2014 года, чем 10 лучших игроков в Таблице 4. В В частности, Васкес получил 3198 названных презентаций, Сервелли получил 2424, Стюарт получил 2370, а Мальдонадо получил только 1861.

Интересно, что теперь мы видим, что Хэнк Конгер опережает Мигеля Монтеро в соответствии с апостериорным средним CAFE, что указывает на то, что относительные рейтинги в Таблица 4 была вызвана, по крайней мере частично, различиями в презентациях, полученных двумя людьми, чем различиями в их эффектах кадрирования.Хотя Конгер выглядит немного лучше, чем Монтеро, с точки зрения CAFE, разница между ними невелика, о чем свидетельствует значительное совпадение их 95% задних вероятных интервалов.

Мы обнаружили, что в 95% задних выборок у Конгера было где-то между самым большим и 11-м по величине CAFE. Напротив, мы видим, что в 95% наших апостериорных выборок CAFE Томаса Теллиса находился среди трех нижних значений CAFE. Интересно, что мы находим гораздо более широкие вероятные интервалы для маргинальных рангов среди 10 нижних ловцов.Некоторые ловцы, такие как Койе Хилл и Остин Ромайн, очень редко появлялись в нашем наборе данных. То есть, Хилл получил только 409 так называемых презентаций, а Ромайн - только 61. Как и следовало ожидать, существует значительная неопределенность в нашей оценке их влияния на фрейм, о чем свидетельствуют довольно широкие вероятные интервалы их предельного ранга.

4.2 Годовая надежность CAFE

Теперь мы рассмотрим, насколько стабильно CAFE в течение нескольких сезонов. Мы повторно подогнали нашу модель, используя данные за сезоны 2012–2015 годов.В каждом сезоне мы ограничиваем внимание теми полями, которые находятся в пределах одного фута от примерной зоны забастовки из книги правил для этого сезона. Мы также используем логарифмические шансы из моделей GAM, обученных во все предыдущие сезоны, так что модель, соответствующая данным 2012 года, использует прогнозы GAM, обученные только на данных за 2011 год, в то время как модель, соответствующая данным 2015 года, использует прогнозы GAM, обученные только на данных из 2011–2014 гг. При вычислении значений CAFE мы используем значения прогона, приведенные в таблице 3 для каждого сезона. Всего за все четыре сезона вышло 56 ловцов.В таблице 6 показана корреляция между их значениями CAFE с течением времени.

Таблица 6:

Корреляция CAFE в разные сезоны.

	2012	2013	2014	2015
2012	1.00	0.70	0.56	0.41
2013	1.0074	1.0074	0,61
2014	0.56	0,71	1,00	0,58
2015	0,41	0,61	0,58	1,00

Ввиду нестационарности применения режима забастовки в разные сезоны, это обнадеживает. Найдите умеренную или высокую корреляцию между CAFE игрока в одном сезоне и в следующем. Что касается годовой надежности, автокорреляция 0,5–0,7 ставит CAFE на один уровень с процентом забивания для тестируемых.Интересно, что корреляция между CAFE 2012 и CAFE 2013 и корреляция между CAFE 2013 и CAFE 2014> 0,7, но корреляция между CAFE 2014 и CAFE 2015 несколько ниже, 0,58. Хотя это могло быть просто артефактом шума, мы все же отмечаем заметный рост осведомленности о фрейминге между сезонами 2014 и 2015 годов, особенно среди фанатов и в популярной прессе. Одной из возможных причин падения корреляции может быть то, что судьи реагируют на репутацию некоторых кэтчеров как элитных создателей поля, называя более строгие зоны нанесения ударов, что было предложено Салливаном (2016).

5 Обсуждение

Мы систематически подбираем модели возрастающей сложности, чтобы оценить влияние кетчера на вероятность объявления страйка судьей сверх таких факторов, как счет, местоположение подачи и другие участники поля. Мы обнаружили доказательства того, что некоторые ловцы действительно оказывают существенное положительное или отрицательное влияние на судей, но величина этих эффектов примерно такая же, как и эффекты подсчета. Используя модель, которая наилучшим образом сбалансировала соответствие и обобщение, мы смогли смоделировать ничью из апостериорного прогнозного распределения вероятности названной вероятности удара для каждой принятой подачи в 2014 году.Для каждого шага мы оценили видимый эффект кадрирования задействованного ловца и, следуя процедуре, аналогичной процедуре Judge et al. (2015), мы получили оценку влияния кадрирования на игру, RS. Наша метрика RS в значительной степени согласуется с ранее сообщенными оценками воздействия кадрирования ловушек, но явным преимуществом является наша естественная количественная оценка неопределенности оценки. Мы обнаружили, что в этой метрике присутствует значительная апостериорная неопределенность, что затрудняет точную оценку влияния того или иного фрейма кетчера на успех его команды.

Хотя построение RS интуитивно понятно, мы утверждаем, что оно не способствует разумному сравнению обрамления ловцов, поскольку по своей конструкции метрика смешивается с другими факторами в нашей модели. Мы предлагаем новую метрику CAFE, которая интегрирует зависимость RS от таких факторов, как расположение шага, количество и другие участники питча. CAFE сравнивает ловцов, вычисляя влияние кадра каждого ловца, если бы он получил каждую подачу в нашем наборе данных. Как и RS, наши оценки CAFE содержат значительную неопределенность.Несмотря на то, что мы можем отделить апостериорные распределения CAFE хороших разработчиков от плохих, существует значительное перекрытие в апостериорных распределениях CAFE внутри этих групп, что затрудняет различение между хорошими и плохими составителями. Несмотря на это, мы находим довольно высокую межгодовую корреляцию в CAFE, хотя между 2014 и 2015 годами наблюдается заметный спад. Это совпадает с повышенным вниманием к фрейму в спортивных СМИ и сообществу саберметров после сезона 2014 года.Одно из возможных объяснений этого снижения состоит в том, что судьи скорректировали контроль своей зоны удара, называя питчи, пойманные ловцами с репутацией хорошими составителями.

Наши результаты могут иметь несколько значений для команд Высшей бейсбольной лиги. Неопределенность как в RS, так и в CAFE затрудняет точную оценку кадрирования основного тона с какой-либо разумной степенью уверенности. Например, 95% доверительный интервал RS Джонатана Люкроя составляет [8,16, 30,49]. Используя эвристику 10 ожидаемых запусков на победу и 7 миллионов долларов на победу (Cameron 2014; Pollis 2013), наша модель предполагает, что фрейм Люкроя стоил где-то между 5 долларами.7 млн. И 21,34 млн. Долл. В свете нестационарности между сезонами и недавнего падения корреляции в CAFE, трудно предсказать влияние, которое любое индивидуальное обрамление ловца окажет на будущее. Наблюдаемые совпадения в апостериорном распределении CAFE означают, что с данными за один сезон мы не можем отличить хороших фреймеров с той же уверенностью, что мы можем отделить хороших фреймеров от плохих. В качестве конкретного примера наша модель показывает, что и Мигель Монтеро, и Хэнк Конгер были определенно лучшими создателями, чем Джаррод Сальталамаккья, но она не может сказать, какой из Монтеро или Конгер оказал большее положительное влияние.

5.1 Расширения

Сейчас мы обсудим несколько расширений и улучшений нашей модели. Хотя мы не сделали этого здесь, можно получить аналогичные оценки RS и CAFE для участников теста и питчеров простым способом. Наша модель учитывала только счет, в который была брошена подача, но есть гораздо больше контекстной информации, которую мы могли бы включить. Например, Розалес и Спратт (2015) предположили, что расстояние между тем местом, где ловец на самом деле принимает подачу, и тем местом, где он устанавливает перчатку перед броском, может повлиять на принятие судьей решения о нанесении удара по мячу.Такие данные отслеживания перчаток являются собственностью, но если они станут общедоступными, можно будет включить это расстояние вместе с его взаимодействием с индикатором улавливателя в нашу модель. Кроме того, можно расширить нашу модель, включив в нее дополнительную информацию о состоянии игры, такую ​​как парк мячей, количество аутов в тайме, конфигурацию основных бегунов, отбивает ли команда хозяев поля или нет, и количество ударов, брошенных до сих пор в летучей мыши. Кто-то может возразить, что судьи имеют тенденцию объявлять больше страйков в конце игр, решение которых фактически решено (например,грамм. когда команда хозяев ведет на 10 пробежек в начале девятого иннинга), и легко включить в нашу модель измерения, связанные с дифференциалом пробежек и оставшимся временем. Расширение нашей модели в этих направлениях может немного улучшить общую прогнозную производительность без значительного увеличения вычислительных затрат.

Более конкретно, мы рассматривали вызовы судей как независимые события на протяжении всей статьи. Chen et al. (2016) сообщили об отрицательной корреляции в последовательных звонках после поправки на местоположение.Чтобы учесть эту отрицательную корреляцию в последовательных вызовах, мы могли бы дополнить нашу модель двоичными предикторами, кодирующими результаты предыдущих вызовов судьи k в той же самой игре, иннинге или игре. Включение этой марковской структуры в нашу модель почти наверняка улучшит общую оценку вероятности вызванного удара и может дать несколько меньшие оценки RS и CAFE. На данный момент, однако, a priori не очевидно, насколько велики будут различия и как лучше всего выбрать k .Также хорошо известно, что питчеры пытаются бросать в разные места в зависимости от подсчета, но мы не пытаемся моделировать или использовать это явление. Понимание влияния последовательности подачи на принятие решений судьями (и наоборот) также будет интересным направлением будущих исследований.

Мы включили расположение шага в двухэтапную процедуру: мы начали с уже довольно хорошей обобщенной аддитивной модели, обученной на исторических данных, и использовали прогнозируемые логарифмические шансы вызванного удара в качестве предиктора в нашей модели логистической регрессии.Гораздо более элегантным было бы вписать одну полупараметрическую модель, поместив, скажем, общий гауссовский процесс перед специфичными для судьи функциями местоположения шага, f ^u ( x , z ) в Уравнение 1. Мы также не исследовали никаких потенциальных взаимодействий между местоположением поля, игроком и эффектами подсчета. Хотя мы, безусловно, могли бы добавить условия взаимодействия к логистическим моделям, рассмотренным выше, это значительно увеличивает количество параметров и может потребовать более продуманной предварительной регуляризации.Более элегантной альтернативой было бы приспособление байесовской модели «суммы деревьев» с использованием процедуры BART Чипмана, Джорджа и Маккалока (2010). Такая модель, вероятно, приведет к более точным оценкам вероятностей удара, поскольку она естественным образом включает структуру взаимодействия. Мы подозреваем, что этот подход может выявить определенные места и пункты, в которых кадрирование наиболее очевидно.

Наконец, мы возвращаемся к двум полям из игры American League Wild Card 2015 года, показанной на рисунке 1. Подгоняя нашу модель к данным за 2015 год, мы обнаруживаем, что Эрик Купер действительно с гораздо большей вероятностью назвал питч Кеучела забастовкой, чем Танака. шаг (81.72% против 62,59%). Интересно, что прогнозы hGAM, лежащие в основе нашей модели, составили 51,31% и 50,29% соответственно. Если посмотреть немного дальше, то если бы оба ловца были заменены на базовый, наша модель оценивает вероятность вызванного удара в 77,58% для поля Кеучел и 61,29% для поля Танака, что указывает на очевидный эффект кадрирования у ловца Астроса Джейсона Кастро (4,14%). ) был немного больше, чем у ловца Янки Брайана МакКанна (1,30%). Довольно большое несоответствие между очевидными эффектами кадрирования и оценочной вероятностью вызванного удара показывает, что мы не можем сразу приписать разницу в вызовах на этих питчах только разнице в способностях кадрирования ловцов.Действительно, мы отмечаем, что эти две передачи были выбраны в разном счете: подача Кеучела была выбрана при счете 1–0, а подача Танаки была выбрана при счете 1–1. В 2015 году судьи с гораздо большей вероятностью объявили забастовки при подсчете 1–0, чем при подсчете 1–1, при прочих равных. Интересно, что если бы передачи Кеучела и Танаки проводились в одном и том же подсчете, наша модель по-прежнему оценивает, что Купер с большей вероятностью называл бы питч Кеучела забастовкой, что придает некоторую достоверность утверждениям разочарованных фанатов Янки о том, что его применение в зоне забастовки благоприятствовало. Астрос.В конечном итоге, однако, не так ясно, что различия в вызовах на двух участках, показанных на Рисунке 1, были вызваны именно кадрированием ловушкой, а не случайностью.

Приложение

B Сравнение моделей с перекрестной проверкой

Как упоминалось в Разделе 3.1, Roegelle (2014), Mills (2017a) и Mills (2017b) задокументировали ежегодные изменения в соблюдении требований арбитражных зон. с тех пор, как в 2009 году Высшая лига бейсбола начала рассматривать и оценивать решения судей.Другими словами, тенденции судей нестационарны в зависимости от сезона, и мы не можем разумно ожидать, что Модели 4 и 5, которые пытаются идентифицировать специфические для судьи эффекты игроков, особенно хорошо прогнозируют будущие решения судей. Потенциально более подходящим способом диагностики проблем с переобучением было бы выделить случайное подмножество наших данных за 2014 год, скажем, 10%, подогнать каждую модель к оставшимся 90% данных и оценить прогностическую эффективность оставшихся 10%. . В таблице 7 показан средний уровень ошибочной классификации и среднеквадратическая ошибка для моделей 1–5 для 10 таких удерживающих наборов.Результаты в таблице подтверждают наш вывод о том, что Модель 3 представляет собой лучший баланс между выразительностью модели и прогностической способностью.

Таблица 7:

Коэффициент ошибочной классификации задержанных (MISS) и среднеквадратичная ошибка (MSE) для нескольких моделей).

		Модель 1	Модель 2	Модель 3	Модель 4	Модель 5
	# Параметры	744	855	924	9172 917 917 025 9171 248 917
Всего	MISS	0.104	0,101	0,101	0,107	0,101
	MSE	0,073	0,071	0,071	0,072	0,072
Область 1	MISS		0,239	0,240	0,242	0,240
	MSE	0,164	0,158	0.157	0,159	0,158
Область 2	MISS	0,213	0,208	0,206	0,208	0,207
	MSE	0,154	0,19	0,150	0,149

C Эффекты ловушки и подсчета

В разделе 3.2 мы сообщили, что апостериорные распределения эффектов ловушки и подсчета на шкале логарифма шансов в значительной степени поддерживаются в интервале [−1.5, 1.5]. Это может указывать на то, что эффект кадрирования ловца примерно такой же по величине, как эффект счета.

На рисунке 7 показаны приблизительные апостериорные плотности эффектов счета. Напомним, что это частичные эффекты относительно базового значения 0–0. Как и следовало ожидать, судьи с большей вероятностью объявят страйк при подсчете 3–0 и 2–0, чем при подсчете 0–0, и гораздо реже объявят страйк при подсчете 0–2 и 1–2, при прочих равных условиях. Что несколько интересно, мы обнаружили, что судьи с меньшей вероятностью объявят страйк при счете 3–1, чем при счете 1–0.

Мы также видим, что апостериорное распределение для эффектов 3–0 отсчетов значительно шире, чем для эффектов отсчетов 0–1, что указывает на то, что мы гораздо более не уверены в влиянии первых двух подсчетов, чем двух последних. Это связано с довольно большим расхождением в количестве шагов, взятых при этих подсчетах: в нашем наборе данных более пяти раз было выбрано так называемое количество презентаций, выброшенных при подсчете 0–1, чем при подсчете 3–0 (37 513 против 6162).

Рисунок 7:

Апостериорные плотности частичного эффекта подсчета.Плотности вычислены с использованием стандартной ядерной оценки.

Чтобы сравнить относительные величины эффектов ловли и подсчета на шкале вероятности, мы вернемся к гипотетическому матчу между отбивающим Ясиэлем Пуигом, ловцом Бастером Поузи и питчером Мэдисон Бамгарнер. Предположим, что презентация Бамгарнера происходит в месте, где hGAM, называемый прогнозом вероятности удара, составляет ровно 50%. Согласно нашей модели, если бы эта подача была гипотетически поймана базовым ловцом, Брайаном Пеной, прогнозируемая вероятность вызванного удара, усредненная по всем 93 судьям, составила бы 54%, с разницей в 4%, относящейся к эффектам перехвата, отбивающего и питчера.Напротив, если бы такое же поле было поймано Бастером Поузи, наша модель оценивает вероятность вызванного удара в 64%, что указывает на то, что на этом поле Поузи добавил дополнительные 10% к прогнозируемой вероятности вызванного удара. Если бы Поузи поймал ту же подачу, но счет был 2–2 вместо 0–0, прогноз был бы 55%. Таким образом, по крайней мере для этого шага, эффект замены базовой линии на ловлю Поузи на шаге 0–0 примерно такой же, как при изменении счета с 0–0 на 2–2 при ловле Поузи.

Таблица 8:

Разница в прогнозируемых вероятностях удара, усредненная по всем судьям, когда Бамгарнер делает бросок на Пуч, относительно базовой линии, называемой вероятностью удара, равной 54%, для различных комбинаций ловушки и подсчета.

	Хэнк Конгер	Бастер Поузи	Брайан Пена	Томас Телис
0–2	−0,14	−0,18	−0,26	−0,18	−0,26	–2	−0.06	−0,10	−0,18	−0,35
0–1	−0,04	−0,08	−0,17	−0,34
2–2	0,03	−0,01	−0,10	−0,28
1–1	0,06	0,02	−0,07	−0,26
3–2	0,07	0,0 4	−0,05	- 0,25
2–1	0.12	0,08	−0,01	−0,20
0–0	0,12	0,09	0,00	−0,20
3–1	0,14	0,10	0,02	−0,18
1–0	0,16	0,13	0,04	−0,16
2–0	0,21	0,18	0,10	−0,10
3–0	0.24	0,21	0,14	-0,06

В таблице 8 подробно рассматривается этот пример и показана расчетная средняя вероятность вызванного удара для одного и того же шага в зависимости от счетчика и улавливателя. То есть мы спрогнозировали вероятность вызванного удара, усредненную по судьям, на поле, брошенном Бумгарнером Пучу в месте, где прогноз hGAM составлял 50% для многих комбинаций ловушки и подсчета. Чтобы выделить относительный размер ловушки и эффекты подсчета, мы вычли из всех этих вероятностей базовый уровень 54%, вызванную вероятность удара, когда ловушка - это Пена, а счет - 0–0.

Напомним, что базовый уровень, называемый вероятностью удара, составляет 54% на таком поле. Согласно нашей модели, эффект изменения счета с 0–0 на 0–2, когда Поузи принимает высоту тона, примерно такой же, как при изменении счета с 0–0 на 1-2, когда базовый уловитель принимает высоту. Отметим, что предполагаемые прогнозы вероятности забастовки для Томаса Теллиса намного ниже, чем для Хэнка Конгера, Поузи и базового кэтчера. Например, наша модель оценивает, что судьи в среднем назвали бы эту подачу забастовкой только в 15% случаев, если бы она была проведена при счете 0–2 и Теллис получал, в отличие от 40% для Конгера, 36% для Поузи, и 28% для Пены.

Ссылки

Альберт, Дж. 2010. «Использование счетчика для измерения характеристик подачи». Журнал количественного анализа в спорте 6. https://doi.org/10.2202/1559-0410.1279. Ищите в Google Scholar

Albert, J. 2015. «Beyond Run Expectancy». Journal of Sports Analytics 1: 3–18.10.3233 / JSA-140001 Поиск в Google Scholar

Кэмерон, Д. 2008. «Объяснение ценностей победы: часть пятая». http://www.fangraphs.com/blogs/win-values-explained-part-five/.По состоянию на 2 августа 2016 г. Поиск в Google Scholar

Cameron, D. 2014. «Цена победы в межсезонье 2014 г.». http://www.fangraphs.com/blogs/the-cost-of-a-win-in-the-2014-off-season/. Доступ 2 августа 2016 г. Поиск в Google Scholar

Карпентер, Б., А. Гельман, М. Хоффман, Д. Ли, Б. Гудрич, М. Бетанкур, М. А. Брубакер, Дж. Го, П. Ли и А. Ридделл. 2016. «Стэн: вероятностный язык программирования». Журнал статистического программного обеспечения 20: 1–37. Искать в Google Scholar

Chen, D., Т. Дж. Московиц и К. Шу. 2016. «Принятие решений при заблуждении игрока: свидетельства судей по убежищу, кредитных инспекторов и судей по бейсболу». Ежеквартальный журнал экономики 131: 1181–1241.10.1093 / qje / qjw017 Поиск в Google Scholar

Чипман, Х. А., Э. И. Джордж и Р. Э. Маккалок. 2010. «Барт: Байесовские деревья аддитивной регрессии». Анналы прикладной статистики 4: 266–298.10.1214 / 09-AOAS285 Поиск в Google Scholar

Дреллих, Э. 2014. «Что означает торговля Конгером для вращения Кастро и Астроса.»Http://blog.chron.com/ultimateastros/2014/11/05/astros-make-trade-with-angels-for-catcher-hank-conger/. По состоянию на 27 мая 2016 г. Поиск в Google Scholar

Fast, M. 2010. «Что, черт возьми, такое PITCHf / x?». В: The Hardball Times Annual, 2010 г. , Чикаго, Иллинойс: Публикации ACTA, 153–158. Выполните поиск в Google Scholar

Holt, R. 2014. «Насколько важен питч-фрейминг?» http://www.beyondtheboxscore.com/2014/12/12/7375383/how-important-is-pitch-framing. Доступ 15 апреля 2016 г.Искать в Google Scholar

Jensen, S. T., K. E. Shirley, and A. J. Wyner. 2009. «Байесбол: байесовская иерархическая модель для оценки поля в высшей лиге бейсбола». Анналы прикладной статистики 3: 491–520.10.1214 / 08-AOAS228 Поиск в Google Scholar

Судья Дж., Х. Павлидис и Д. Брукс. 2015. «Выходя за рамки WOWY: смешанный подход к измерению кадрирования Catcher». http://www.baseballprospectus.com/article.php?articleid$=$25514. Доступ 8 февраля 2015 г.Искать в Google Scholar

Kim, J. W. and B.G. King. 2014. «Видящие звезды: влияние Мэтью и предвзятость статуса в судействе Высшей лиги бейсбола». Management Science 60: 2619–2644.10.1287 / mnsc.2014.1967 Искать в Google Scholar

Линдберг, Б. 2013. «Искусство кадрирования». http://grantland.com/features/studying-art-pitch-framing-catchers-such-francisco-cervelli-chris-stewart-jose-molina-others/. По состоянию на 8 февраля 2015 г. Поиск в Google Scholar

Lindsey, G.Р. 1963. «Исследование стратегий в бейсболе». Исследование операций 11: 477–501.10.1287 / opre.11.4.477 Поиск в Google Scholar

Марчи, М. 2011. «Оценка ловцов: количественная оценка навыка создания рамок». http://www.hardballtimes.com/evaluating-catchers-quantifying-the-framing-pitches-skill/. По состоянию на 23 апреля 2016 г. Поиск в Google Scholar

Миллс, Б. М. 2014. «Социальное давление на тарелке: неприятие неравенства, статус и простое воздействие». Экономика управления и принятия решений 35: 387–403.10.1002 / mde.2630 Искать в Google Scholar

Mills, B. M. 2017a. «Изменения в политике в высшей бейсбольной лиге: улучшенное поведение агентов и дополнительные результаты производительности». Economic Inquiry 55: 1104–1118.10.1111 / ecin.12396 Поиск в Google Scholar

Миллс, Б. М. 2017b. «Технологические инновации в мониторинге и оценке: свидетельства влияния на производительность судей Высшей лиги бейсбола». Экономика труда 46: 189–199.10.1016 / j.labeco.2016.10.004 Искать в Google Scholar

Parsons, C.A., J. Sulaeman, M.C. Yates и D.S. Hamermesh. 2011. «Третий удар: дискриминация, стимулы и оценка». American Economic Review 101: 1410–1435.10.1257 / aer.101.4.1410 Поиск в Google Scholar

Павлидис, Х. 2014. «Вас подставили». http://espn.go.com/espn/feature/story/_/id/11127248/how-catcher-framing-becoming-great-skill-smart-teams-new-york-yankees-espn-magazine. По состоянию на 15 августа 2015 г. Выполните поиск в Google Scholar

Pollis, L. 2013. «Сколько на самом деле стоит победа?» http: // www.Beyondtheboxscore.com/2013/10/15/4818740/how-much-does-a-win-really-cost. Ищите в Google Scholar

Roegelle, J. 2014. «Расширение зоны забастовки выходит из-под контроля». http://www.hardballtimes.com/the-strike-zone-expansion-is-out-of-control/. Искать в Google Scholar

Rosales, J. and S. Spratt. 2015. «Кто несет ответственность за объявленную забастовку?» в Sloan Sports Analytics Conference 2015 . Бостон, Массачусетс. Ищите в Google Scholar

Sanchez, R. 2015. «Джонатану Люкрою нужно повышение.»Http://espn.go.com/mlb/story/_/id/124/jonathan-lucroy-needs-raise. По состоянию на 29 января 2016 г. Поиск в Google Scholar

Сидху, Г. и Б. Каффо. 2014. «MONEYBaRL: Использование процесса принятия решений Pitcher с использованием обучения с подкреплением». Annals of Applied Statistics 8: 926–955.10.1214 / 13-AOAS712 Поиск в Google Scholar

Салливан Дж. 2015. «Как Astros оказался в зоне большего размера». http://www.fangraphs.com/blogs/how-the-astros-wound-up-with-a-bigger-zone/. Доступ 10 октября 2015 г.Ищите в Google Scholar

Салливан Дж. 2016. «Начало конца питч-фрейминга?» http://www.fangraphs.com/blogs/the-beginning-of-the-end-for-pitch-framing/. Проверено 9 сентября 2016 г. Поиск в Google Scholar

Тайский С., Б. М. Миллс и Дж. А. Уинфри. 2015. «Дальнейшее изучение потенциальной дискриминации среди судей MLB». Journal of Sports Economics 16: 353–374.10.1177 / 1527002513487740 Искать в Google Scholar

Thorn, J. and P.Палмер. 1985. Скрытая игра в бейсбол . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Doubleday. Ищите в Google Scholar

Turkenkopf, D. 2008. «Обрамление дебатов». http://www.beyondtheboxscore.com/2008/4/5/389840/framing-the-debate. Проверено 23 апреля 2016 г. Выполните поиск в Google Scholar

Walsh, J. 2007. «Strike Zone: Fact vs. Fiction». http://www.hardballtimes.com/strike-zone-fact-vs-fiction/. По состоянию на 23 апреля 2016 г. Поиск в Google Scholar

Woodrum, B. 2014. «Состояние и будущее исследований питч-фрейминга.»Http://www.hardballtimes.com/the-state-and-future-of-pitch-framing-research/. По состоянию на 10 февраля 2015 г. Поиск в Google Scholar

Опубликован в Интернете: 2017-10-10

Опубликован в печатном виде: 2017-9-26

© 2017 Walter de Gruyter GmbH, Берлин / Бостон

Кувшины, частота вращения которых упала больше всего после подавления липких веществ

Изменение скорости вращения мяча в фастболах высшей лиги по сравнению со средним значением до 3 июня

Источник: предварительный анализ данных по футбольному мячу от Baseball Savant · Включает поля, проведенные в играх до 17 июля 2021 г.

Бейсбольные мячи крутятся не так, как раньше.

Спустя более месяца после начала эры повышенного внимания к применению запрещенных липких веществ к бейсбольным мячам высшей лиги скорость вращения мячей Fastball упала примерно на 4 процента, так как вычеркиватели уменьшились, а процентное соотношение на базе выросло - изменения в середине сезона не имеют аналогов в течение десятилетий. .

Резкое падение началось примерно 3 июня, когда бейсбол дал понять, что решит эту проблему напрямую. И он начал выравниваться примерно 15 июня, когда М.Л.Б. объявила, что на следующей неделе начнутся усиленные правоприменительные процедуры, в том числе внутриигровые проверки арбитрами и угроза дисквалификации на 10 игр для питчеров, нарушающих правила.

Увеличение скорости отжима может добавить больше движения к разбивке. А с фастболом это позволяет подаче подольше оставаться на высоте, создавая впечатление, будто мяч поднимается вверх.

Хотя нанесение каких-либо посторонних веществ на бейсбольный мяч запрещено с 1920-х годов, использование липких веществ, таких как Spider Tack - мощного клея, созданного для того, чтобы помогать конкурентоспособным силам и силачам поднимать огромные камни Атласа - было секретом Полишинеля, в соответствии с спортивная традиция подмигивать хулиганам до тех пор, пока ситуация не выйдет из-под контроля.

А этой весной бейсбол действительно вышел из-под контроля. Хиты были близки к рекордным минимумам. Вычеркивания были на рекордно высоком уровне. Этой весной питчеры были настолько доминирующими, что к середине мая - менее чем за семь недель до начала сезона - они уже набрали намного больше, чем типичный сезонный результат. И вращение было в центре этого.

Общее количество игроков, не попавших в игру с 1901 года

Изменения скорости вращения, измеренные с использованием данных высокоскоростных камер, которые отслеживают каждую фазу каждой игры, являются самым прямым доказательством того, что такие вещества, как Spider Tack, были значительным фактором доминирования качки в первые недели сезона.

Эти материалы позволили питчерам так хорошо захватывать мяч, что они могли создавать гораздо больший крутящий момент на подаче, что, в свою очередь, позволяло им вращать мяч быстрее, что затрудняло попадание.

Что изменилось

Как правило, прогулок становятся несколько реже по мере продвижения сезона. В 2021 году количество прогулок после 15 июня увеличилось впервые за десятилетия:

Изменение скорости ходьбы

Источник: Fangraphs · На этой диаграмме сравнивается частота ходьбы за каждый сезон до 3 июня со скоростью ходьбы за период с 15 июня по 18 июля.

Доля атлетов, закончившихся вычеркиванием , упала до 23 процентов:

Изменение показателя вычеркивания

Источник: Fangraphs · На этой диаграмме сравнивается количество вычеркнутых из каждого сезона до 3 июня с процентом вычеркивания за период с 15 июня по 18 июля.

Вместе они внесли наибольший вклад в процентных ставок на базисной основе, по крайней мере, с 1990 года:

Изменение базового процента

Источник: Fangraphs · На этой диаграмме сравнивается процентное соотношение на базе за каждый сезон до 3 июня с процентом на основе за период с 15 июня по 18 июля.

Чтобы измерить влияние новых правил на питчеров, The New York Times изучила данные по каждому фастболу с 2017 по 2021 год, всего около 1,7 миллиона полей, и сравнила изменение скорости вращения в предыдущих сезонах с показателями 2021 года.

В типичный сезон скорость вращения питчера не сильно меняется: скорость вращения фастбола в мае обычно близка к скорости вращения его фастбола в сентябре.

Но в этом сезоне, когда даже старомодные смеси, такие как комбинация канифоли (которая разрешена) и солнцезащитного крема (которая не является законной), подверглись тщательной проверке, скорость вращения большинства питчеров снизилась после 3 июня.Из 131 питчера в нашем наборе данных - питчеров, которые забросили не менее 150 фастболов с 15 июня - скорость вращения фастбола упала для всех, кроме 29 из них. И скорость вращения горстки питчеров резко изменилась, в том числе девять, у которых фастболы потеряли 200 оборотов в минуту и ​​более.

Кувшины с наибольшим снижением

Это питчеры, у которых скорость вращения фастбола упала больше всего. (Некоторые из этих питчеров открыто обсуждали влияние липких веществ, но несколько вещей - например, травмы, изменение стратегии подачи или просто случайная низкая производительность - могут объяснить изменения скорости вращения отдельных питчеров.)

Стоит отметить одно предостережение: существует множество способов определить, какие кувшины пострадали больше всего, и ни один из них не является идеальным. Мы могли измерить простое изменение скорости вращения примерно до момента запрета, как мы это делали выше. Мы могли бы измерить это в процентах, что может определить некоторых питчеров, чьи быстрые мячи сильно пострадали, даже если они бросали на более низких скоростях. Или мы могли бы измерить изменение, учитывая скорость фастбола, поскольку более быстрые подачи, естественно, больше вращаются.

Каждый из этих методов дает немного другой список. Но как бы мы ни измеряли, эти кувшины были на вершине или почти на ее вершине. (Каждый из 10 игроков, показанных выше, попал в 13 лучших по всем трем параметрам, которые мы оценивали.) Вот как все питчеры в наших данных ранжируются на основе трех различных способов сравнения изменений вращения фастбола:

Ранг изменения вращения питчера при измерении с помощью…

Кувшины, включенные в таблицы выше, выделены.

Кувшин	Изменение отжима	Изменение в процентах	Изменение с поправкой на скорость
Джеймс Каприелян Окленд Атлетикс	1-й	1-й	1-й
Тревор Бауэр Лос-Анджелес Доджерс	2-я	5-я	3-й
Гаррет Ричардс Бостон Ред Сокс	3-й	3-й	5-я
Джеймс Каринчак Кливленд Индианс	4-я	2-я	4-я
Дилан Сиз Чикаго Уайт Сокс	5-я	4-я	2-я
Уокер Бюлер Лос-Анджелес Доджерс	6-й	7-й	8-й
Геррит Коул Янки	7-й	9-я	7-й
Тайлер Мал Цинциннати Редс	8-й	6-й	11-й
Корбин Бернс Милуоки Брюэрс	9-я	15-й	13-й
Тайлер Андерсон Питтсбург Пайрэйтс	10-я	12-я	6-й
Чи Чи Гонсалес Колорадо Скалистые горы	11-й	13-й	9-я
Кейси Миз Детройт Тайгерс	12-я	10-я	18-й
Дрю Смили Атланта Брейвс	13-й	8-й	17-я
Юсей Кикучи Сиэтл Маринерс	14-й	14-й	15-й
Маркус Строман Мец	15-й	19-е	19-е
Алекс Кобб Лос-Анджелес Энджелс	16-й	11-й	14-й
Колби Аллард Техас Рейнджерс	17-я	18-й	21-я
Ю. Дарвиш Сан-Диего Падрес	18-й	27-я	10-я
Алекс Вуд Сан-Франциско Джайентс	19-е	17-я	20-й
Rich Hill Тампа Бэй Рэйс	20-й	21-я	27-я

Чтобы быть включенным в этот анализ, питчер должен забросить не менее 150 мячей до 3 июня и не менее 150 мячей с 15 июня.

Или используйте инструмент ниже, чтобы увидеть, как изменилась скорость вращения для любого питчера в нашем анализе. (Чтобы быть включенным, питчер должен забросить не менее 150 мячей до 3 июня и не менее 150 мячей с 15 июня.)

Рай питчеров

В прошлом игроки и официальные лица редко вызывали недоумение в отношении нарушителей. Правила, запрещающие посторонние вещества, обычно игнорируются. В случае с захватывающими веществами, а не со старомодными смазками, используемыми строго для создания непредсказуемого движения, питчеры утверждают, что хорошее сцепление с мячом делает его более безопасным для бьющих игроков.

Когда его спросили о последствиях изменений правил, Роб Манфред, комиссар Высшей лиги бейсбола, сосредоточился на положительном влиянии, которое они оказали на нарушение правил игры.

«Обеспечение соблюдения наших правил действительно важно - они прописаны, они должны выполняться», - сказал он, назвав изменения в игре «очень многообещающими». Он был особенно рад, что не произошло увеличения количества жидких тесто, пораженных смолами - точка зрения, которую он высказал раньше и которая была подтверждена данными, показывающими, что жидкое тесто было менее безопасным в эту недавнюю эру липких веществ.

«Все это огромные преимущества для нас», - сказал Манфред.

Питчер Янки Геррит Коул не скрывал своего недовольства тем, что он воспринимал как неравномерное соблюдение правил. В преддверии Матча всех звезд на прошлой неделе он повторил эти жалобы, заявив: «Не было реального законодательства, касающегося действующих обычаев и практики».

Коул и другие питчеры должны были быстро приспосабливаться. «Что касается того, что происходит, было сложно сделать это в середине сезона», - сказал он.«Но, как игроки, мы сейчас здесь, мы приспосабливаемся, и я думаю, что в долгосрочной перспективе мы будем лучше».

Какими бы очевидными ни были изменения в данных, не все игроки высшей лиги заметили.

«Я не могу этого заметить, я не могу», - сказал Джои Вендл, участник Матча звезд клуба Tampa Bay Rays. «Я знаю, что все хотят слышать да, но, честно говоря, нет, я действительно не могу сказать особой разницы».

Какие 200 об / мин стоит

Фастбол питчера, увеличивающийся с 2600 до 2400 оборотов в минуту, может показаться не таким уж большим.Но такое большое вращение может составлять дополнительный дюйм движения фастбола - и значительно больше для некоторых питчеров, - сказал Майкл Фишер, основатель Codify, компании, которая предоставляет индивидуальную аналитику десяткам питчеров высшей лиги. А в бейсболе дюйм может означать разницу между хоумраном с тремя забегами и двойной игрой в конце тайма.

«Я последний парень, который пренебрегает движением на дюйм, когда летучая мышь имеет ширину три дюйма», - сказал он.

Вдобавок ко всему, дополнительное вращение, которое питчеры могут получить с помощью липких веществ, может сбить с толку нападающих, которые на протяжении всей жизни построили то, что Дон Тейг, консультант, который работал с командами высшей лиги над ролью зрения в максимизации двигательной активности, называет «Визуальные воспоминания.«Это построенные идеи о том, как выглядят различные виды питчей за доли секунды, которые тестирующий должен принять, чтобы принять решение.

Дополнительное движение липких веществ может сделать эти воспоминания бесполезными.

"Это похоже на фастбол с разделенными пальцами?" - сказал Тейг. «Это похоже на кривую шашку? Все эти вещи решаются в тот момент истины ».

«Вы визуально сказали себе, куда летит мяч, менее чем за 0,2 секунды», - добавил он.

С этими дополнительными вращениями «мяч не попадет туда».

Музыкальные питч-классы имеют радужные оттенки в синестезии основного тона-цвета

Субъекты

Пятнадцать субъектов с синестезией основного тона-цвета приняли участие в исследовании (18–22 лет, двое мужчин; Таблица 1). Все испытуемые сообщили, что у них были ощущения цветов, связанные с классами поля. Обоснованность их претензии была подтверждена тестом на непротиворечивость, который описан ниже.Двенадцать субъектов сообщили о спонтанных цветовых ощущениях при прослушивании музыки или музыкальных звуков; то есть они обладали «цветным слухом» в общем смысле этого слова, тогда как трое других не испытывали таких ощущений.

Таблица 1 Профили субъектов.

Критерием включения в это исследование, помимо наличия синестезии по классу высоты звука и цвета, было то, что у испытуемых должен был быть средний или высокий уровень абсолютного слуха (АП). Хотя мы действительно столкнулись с рядом синестетов цветового класса высоты звука без или с низким уровнем AP, эти субъекты будут изучены позже в отдельном исследовании, в котором будет конкретно рассмотрено влияние AP на синестезию цвета основного звука.AP-способность испытуемых оценивалась с помощью нашего AP-теста ¹⁰ , в котором испытуемые называли высоту звука 60 нот хроматической гаммы в тембре фортепиано, охватывающем пять октав, представленных случайным образом в последовательности с асинхронностью начала стимула в четыре секунды. Критерием была оценка 80% правильных или выше (среднее ± стандартное отклонение: 94,1 ± 6,9%) для белых нот ( до , re , mi , fa , sol , la и si ), которые представляли семь базовых классов высоты тона без каких-либо случайностей (острый или плоский).AP приобретается через раннюю музыкальную подготовку ^11,12 , и, таким образом, все участники этого исследования прошли формальную музыкальную подготовку помимо стандартного школьного образования; их среднее (± стандартное отклонение, стандартное отклонение) количество лет обучения составляло 13,8 ± 3,2 года, и они начали в среднем в возрасте 4,9 ± 2,1 года. В таблице 1 представлены оценки участников AP и годы их музыкального обучения.

Все испытуемые были студентами или аспирантами Университета Ниигаты, Япония, и носителями японского языка.Исследование было одобрено Внутренним наблюдательным советом Университета Ниигаты и проводилось в соответствии с руководящими принципами исследований на людях Внутреннего наблюдательного совета Университета Ниигаты. Все субъекты дали письменное информированное согласие перед участием в исследовании.

Тест выбора цвета

Испытуемые выбирали один цвет для каждого из 12 классов высоты тона хроматической шкалы в типичном программном обеспечении для выбора цвета (FE-Color Palette, Fieldeast, Япония, http: // www.fieldeast.com/soft/fecp.html), запущенный на компьютере, который был подключен к монитору с электронно-лучевой трубкой (SONY G520). Классы высоты тона задавались устно экспериментатором, который использовал сольфеджио ( до , re , mi , fa , sol , la и si ) и случайные. В Японии, где проводилась работа, классы высоты тона обычно указываются таким образом, а не буквами (C, D, E и т. Д.) Или другими символами / именами.Не у всех субъектов-синестетиков были цветовые ощущения для всех 12 классов поля; в таком случае от них не требовалось давать ответ.

Чтобы подтвердить постоянство ощущений, тест проводился в два разных дня, разделенных 196 ± 89 (среднее ± стандартное отклонение) днями. Кроме того, тест проводился дважды в день. Были записаны значения RGB (красный, зеленый, синий) выбранных цветов, и результаты были усреднены по повторным тестам каждый день, а затем и по двум дням.Порядок классов питча был рандомизирован для каждого теста.

Для численного анализа цветов нормализованные значения RGB были преобразованы в значения HSV, чтобы представить их в оттенке ( H ), насыщенности ( S ) и значении ( V ), используя следующие стандартные формулы:

$$ H = (60 \ frac {(GB)} {(MAX-MIN)} + 360) \, \ mathrm {mod} \, 360 \ quad {\ rm {if}} \, MAX = R, $ $

(1)

$$ H = 60 \ frac {(B-R)} {MAX-MIN} +120 \ quad {\ rm {if}} \, MAX = G, $$

(2)

$$ H = 60 \ frac {(R-G)} {MAX-MIN} +240 \ quad {\ rm {if}} \, MAX = B, $$

(3)

$$ H = {\ rm {undefined}} \ quad {\ rm {i}} {\ rm {f}} \, MAX = MIN, $$

(4)

, где MAX = max ( R , G , B ) и MIN = min ( R , G , B ).Наконец, H (в градусах) было преобразовано в радианы или в нормированную единицу (NU, диапазон 0–1), тогда как S и V были в NU.

Фазовое развертывание оттенка

Значения H , рассчитанные, как показано выше, представляют проблему при численном анализе оттенка из-за его округлости. Например, красный оттенок, H _{красный} = 0,01 и фиолетовый оттенок H _{фиолетовый} = 2π - 0.01, имеют совершенно разные значения H , несмотря на схожие оттенки. Кроме того, их числовое среднее - π (зеленый), где должно быть 0 (красный). Поэтому для развертки H по фазе была произведена следующая регулировка. Сначала цвета были усреднены в пространстве RGB (внутри или между объектами, в зависимости от случая). Усреднение в RGB сохранило цвета, поскольку эта операция была линейной, в отличие от пространства HSV. Затем усредненные значения RGB и отдельные значения RGB, из которых было получено среднее значение, были преобразованы в HSV для получения среднего значения H ( H _пр. ) и индивидуальный H ( H _ind ) соответственно.Наконец, каждый H _ind был развернут так, чтобы он находился в диапазоне ± π от H _пр. , используя следующую конверсию:

$$ {H} _ {{\ rm {ind}} ({\ rm {adjust}})} = {H} _ {{\ rm {ind}}} \ quad {\ rm {if}} \, {\ rm {abs}} \, ({H} _ {{\ rm {ind}}} \, \ mbox {-} \, {H} _ {{ \ rm {ave}}}) \ le {\ rm {\ pi}}, $$

(7)

$$ {H} _ {{\ rm {ind}} ({\ rm {adjust}})} = {H} _ {{\ rm {ind}}} + 2 \ pi \ quad {\ rm {если }} \, {\ rm {abs}} \, ({H} _ {{\ rm {ind}}} \, \ mbox {-} \, {H} _ {{\ rm {ave}}} )> {\ rm {\ pi}} \, {\ rm {and}} \, {H} _ {{\ rm {ave}}}> {\ rm {\ pi}}, $$

(8)

$$ {H} _ {{\ rm {ind}} ({\ rm {adjust}})} = {H} _ {{\ rm {ind}}} - 2 {\ rm {\ pi}} \ quad {\ rm {if}} \, {\ rm {abs}} \, ({H} _ {{\ rm {ind}}} \, \ mbox {-} \, {H} _ {{\ rm {ave}}})> {\ rm {\ pi}} \, {\ rm {and}} \, {H} _ {{\ rm {ave}}} \ le {\ rm {\ pi}} , $$

(9)

, где абс - абсолютное значение.

В приведенном выше примере H _{красный} = 0,01 и H _{фиолетовый} = 2π - 0,01, скорректированные значения H будут 0,01 и -0,01, соответственно, с их средним значением H _ave равняется 0,00. Диапазон скорректированного H был от -π до 3π. Неупакованные значения H использовали во всех статистических анализах, если не указано иное.

Поведенческие эксперименты

Большинство наших испытуемых сообщали в интервью, что их цветовые ощущения путем интроспекции были связаны с названиями, то есть сольфеджио слогов, классов высоты звука, а не с их высотой звука (Таблица 1). Для проверки этого предположения был проведен ряд поведенческих экспериментов. Было четыре задания, в которых два типа стимулов, слф сольфеджио и высота звука, были представлены с двумя разными инструкциями, а именно: сообщить соответствующий цвет или сообщить слог сольфеджио (таблица 2).

Таблица 2 Поведенческие задачи.

Эти эксперименты были разработаны в соответствии с гипотезой о том, что двухэтапный процесс лежит в основе синестезии цветового тона у субъектов с AP. Сначала питчи были преобразованы в сольфеджио с помощью AP, что было автоматическим процессом, который происходил без сознательных усилий ¹⁰ . Впоследствии слоги сольфеджио были связаны с цветами синестезией. Этой гипотезе последовали два прогноза. Во-первых, учитывая музыкальный тональный стимул, время реакции (RT) для сообщения сольфеджио будет короче, чем для сообщения цветов.Это было проверено путем сравнения RT в задании на изменение высоты звука в слог и в задаче на изменение высоты звука в цвет. Во-вторых, RT для сообщения цветов будет короче при представлении сольфеджио слогов, чем при представлении высот. Это было проверено путем сравнения RT между задачей «слог-цвет» и задачей «шаг-цвет».

В задаче «слог-цвет» оценивалась точность и скорость ассоциации класса высоты тона с цветом без возможных смешивающих эффектов высоты тона. Семь названий классов высоты тона нот белых клавиш ( до , re , mi , fa , sol , la и si ) случайным образом отображались на экране компьютера в форма слога сольфеджио (в японских иероглифах), и испытуемые сообщали голосом соответствующий цвет как можно быстрее.Слоги были напечатаны белыми буквами на черном фоне. Ответ считался правильным, если он соответствовал цвету, который сам субъект выбрал в тесте по выбору цвета ранее в тот же день, и анализировались только RT для испытаний с правильным ответом.

В задании по слогам испытуемые просто читают вслух сольфеджио, которые были представлены на экране компьютера, как описано выше. Эта задача заключалась в преобразовании визуального представления слога в его слуховое представление перед ответом.

Задача преобразования высоты звука в цвет оценивала точность и скорость ассоциации класса высоты звука с цветом, которая является определяющей особенностью синестезии класса высоты звука и цвета. В задаче преобразования высоты звука в цвет случайная последовательность нот белого цвета, охватывающая две октавы (A3-G4), была представлена ​​в тембре фортепиано, настроенном на A4 = 440 Гц. Испытуемые как можно быстрее сообщали о своем ассоциированном цвете (красный, желтый, синий и т. Д. На японском языке). Ответ считался правильным, если он соответствовал цвету, который сам субъект выбрал в тесте по выбору цвета ранее в тот же день, и анализировались только RT для испытаний с правильным ответом.

В задании по преобразованию высоты звука в слог испытуемые сообщали о классе высоты звука фортепианных тонов, которые были представлены, как описано выше. Это условие оценивало точность и скорость ассоциации высоты звука со слогом или определения класса высоты звука; это было отличительной чертой AP.

Предполагая, что задача преобразования слога в цвет включает двухэтапный процесс, в котором визуальное представление слога сначала преобразовывалось в его слуховое представление, а затем в цвет, разница в RT между задачей преобразования слога в цвет а задача от слога к слогу, ΔRT _слог = RT _{от слога к слогу} - RT _{от слога к слогу} , обеспечит оценку времени, необходимого для второго шага: слог (слух) - отображение цвета.С другой стороны, согласно гипотезе о том, что высота звука сначала была преобразована в слоги до того, как они вызвали цветовые ощущения, разница в RT между задачей на изменение высоты звука и задачей на изменение высоты звука в слог, ΔRT _pitch = RT _{pitch -to-color} - RT _{для преобразования высоты звука в слог} , предоставил другую оценку времени, необходимого для преобразования слога (слухового) в цвет.

Во всех тестах испытуемых просили как можно быстрее отвечать голосом. RT были измерены с использованием начала голоса.Порядок задач был рандомизирован по предметам. В каждой задаче каждый класс питча был представлен 10 раз в случайном порядке, а результаты усреднялись по всем испытаниям и классам питча. Эксперименты проводились с использованием компьютерного программного обеспечения Presentation (Neurobehavioral Systems, Беркли, Калифорния, США) и аудиооборудования Sound Blaster (Creative Technology, Jurong East, Сингапур).

Возможно, визуальное представление слогов мешало выполнению задания, например, облегчая ответ «белый».Это было ограничением исследования. Однако только ограниченное количество испытуемых имело ощущение белого цвета, связанное с классами высоты звука (рис. 2), и такие эффекты считались незначительными.

Рисунок 2

Результаты теста выбора цвета. Цвета, выбранные отдельными объектами, показаны в виде кружков, расположенных рядами, а усредненные цвета показаны квадратами. Открытый кружок обозначает белый цвет, а отсутствующий кружок указывает на то, что у объекта не было цветов, связанных с этим классом высоты тона.Связанные классы высоты тона представляют собой энгармонические эквиваленты. Номера случаев соответствуют номерам в таблице 1.

Статистический анализ

Для выполнения статистических расчетов использовался IBM SPSS Statistics версии 22 (IBM, Армонк, Нью-Йорк, США). Модели статистического анализа при необходимости описаны в разделе результатов.

Доступность данных

Наборы данных, созданные во время и / или проанализированные в ходе текущего исследования, доступны у соответствующего автора по разумному запросу.