Матрицы дж равена: Прогрессивные матрицы Равена || Пройти тест онлайн

1’x

х’у

х’х

Детерминанты

Определитель — это забавное свойство или значение матрицы. Мы (на самом деле, компьютер) будем находить детерминанты корреляции, дисперсии-ковариации или матрицы сумм квадратов и перекрестных произведений (SSCP). Вы можете думать о детерминанте как о мере свободы варьирования или отсутствия предсказуемости в матрице (я говорю это, чтобы дать вам некоторое представление о том, что это такое, даже если это не совсем правильно или точно). Помимо общего представления о том, что это такое, и связанной с ним номенклатуры, вам необходимо знать (а) что определитель используется для нахождения обратной матрицы (обсуждается в следующей теме) и (б) что это означает, когда определитель нуль.

Определитель матрицы A записывается

дет( А ) = | А | или

Определитель обозначен вертикальными черточками вместо скобок. Определитель сложно вычислить, если матрица не имеет порядка 2×2. В этом случае определитель равен 9.0043 a ₁₁ ( a ₂₂ )- a ₂₁ ( a ₁₂ ). Для нашего примера выше определитель будет равен 1(1)-(0,5)(0,5) = 0,75.

Большой определитель означает свободу варьирования; определитель, равный нулю, означает, что свободы варьирования нет, в матрице полная предсказуемость. Например, если бы корреляция между нашими двумя мерами равнялась 1,0, то определитель матрицы корреляции был бы равен (1)(1)-(1)(1) = 0. Нулевой определитель получается, когда существует линейная зависимость в матрица. То есть, если одна переменная является линейной комбинацией других переменных в матрице, определитель будет равен нулю. Например, предположим, что я хочу использовать удовлетворенность работой для прогнозирования текучести кадров. У меня есть пять шкал удовлетворенности работой из JDI (Job Descriptive Index, известная мера): работа, зарплата, продвижение по службе, надзор и коллеги. Теперь предположим, что я хочу предсказать оборот по этим пяти плюс общее удовлетворение. Если я суммирую пять шкал, чтобы обозначить общую удовлетворенность, общая сумма будет линейной комбинацией пяти шкал (общая = работа + оплата + промо + супер + совместная работа).

Если я положу все шесть шкал в корреляционную матрицу, определитель будет равен нулю. Матрица с определителем, равным нулю, называется сингулярной . Это своего рода плохая вещь, как будет объяснено в ближайшее время. Сингулярные матрицы доставляют нам неприятные проблемы. Матрица будет сингулярной, если любые две переменные в матрице идеально коррелированы (либо r = 1, либо r = -1). Матрица также будет сингулярной всякий раз, когда любая переменная в матрице точно предсказывается любой комбинацией других переменных в матрице. То есть, если мы выберем какую-либо одну переменную в качестве зависимой и используем любую комбинацию других переменных в матрице для вычисления линейной регрессии, и мы найдем R ² из 1. 0, матрица вырожденная. Сингулярная матрица не имеет обратной .

Обратите внимание, что определитель для A больше, чем для B , потому что у A больше свободы для изменения, и, конечно же, определитель для C равен нулю, потому что две переменные идеально коррелированы.

, обратное , является матричным аналогом деления действительных чисел. В действительных числах x ^-1 равно 1/x. А в действительных числах, если умножить х на х ^-1 , имеем (x)(1/x)=1. Только квадратная матрица может иметь обратную. Обратная матрица обладает тем свойством, что когда мы умножаем матрицу на обратную, получается единичная матрица I . Другими словами, АА ^-1 = А ^-1 А = I . Это особенное во многих отношениях. Во-первых, обычно не бывает так, что предварительное и постумножение двух матриц дает один и тот же результат ( AX обычно не равно XA ). Во-вторых, единичная матрица обладает тем свойством, что ее умножение на любую подходящую матрицу приводит к той же самой матрице. то есть АИ = ИА = А . Умножение матрицы на единичную матрицу аналогично операции действительного числа умножения числа или переменной на 1: результирующий результат идентичен введенным числам. Вот почему обратная матрица аналогична делению числа на себя в действительных числах. В действительных числах, когда вы делите число на его обратную («обратную»), результат равен 1. Когда вы умножаете матрицу на обратную, результат равен I . В обоих случаях (1 и I ), умножение на что-то оставляет исходное значение без изменений.

Проверьте умножение.

БИ(1,1) = 1+0+0; БИ(2,1) = 0,5+0+0; BI(3,1) = .25+0+0 и т. д. BB ^-1 (1,1) = (1)1,36-0,5(0,46)-0,25(0,18) = 1; BB ^-1 (2,1) = 0,5(1,36)-(1).64-0,25(0,18)=0 и т. д.

Третья основная причина, по которой нас это волнует, заключается в том, что для нахождения весов b и b из матриц данных используется инверсия. Если мы умножим корреляционную матрицу на обратную, мы получим единичную матрицу I . Это позволяет нам умножать обе части уравнения на обратную для решения матричного уравнения (так же, как деление обеих частей уравнения в обычной алгебре).

Обратное позволяет нам найти веса b .

Во всяком случае, нет обратной, когда матрица вырожденная (когда определитель равен нулю). Когда обратной нет, мы не можем найти веса b . Итак, если у нас есть сингулярная матрица, мы не можем использовать множественную регрессию.

MATH0005 Алгебра 1 часть 3

33 Матрицы и векторы

Определение матрицы и вектора

Мы начнем с множества определений. 92\).

\(\begin{pmatrix} 1&2\\2&1 \end{pmatrix}\), квадратная матрица \(2\times 2\).

Элементы матрицы

Элемент \(i\), \(j\) матрицы означает число в строке \(i\), столбце \(j\). Важно получить их правильно. Обычно, когда вы указываете \((x, y)\) координаты, \(x\) относится к горизонтальному направлению, а \(y\) относится к вертикальному направлению. Однако, когда мы говорим о элементе \(i,j\) матрицы, первое число \(i\) относится к номеру строки (т.е. вертикальному направлению), а второе число \(j\) относится к номер столбца (т. е. горизонтальное направление).

Мы хотим часто обращаться к этим записям. Мы часто пишем \(A = (a_{i,j})\), чтобы обозначить, что \(A\) — это матрица, элемент которой \(i\),\(j\) называется \(a_{ij}\ ).

Например, в случае \(2\times 2\) мы получим

\[A = \begin{pmatrix} а_{11} и а_{12} \\ а_{21} и а_{22} \end{pmatrix}.\]

Если вы используете это обозначение, вы, конечно, также должны указать размер матрицы.

Добавление матриц

Мы можем добавлять матрицы одинакового размера

Если \(A=(a_{ij})\) и \(B=(b_{ij})\) имеют одинаковый размер, то \(A+B\) определяется как матрица, \( i,j\) запись \(a_{ij} + b_{ij}\).

Пример. \[\begin{pmatrix} 1 и 2 \\ 4 и 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&1\\2&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 и 2+1 \\ 4+2 и 5+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&3\\6&8 \end{pmatrix}.\]

Другими словами, мы добавляем матрицы, добавляя соответствующие записи. Мы никогда не добавляем матрицы разных размеров.

Скалярное умножение

Мы также умножаем матрицы на числа — это называется «скалярное умножение».

Если \(A = (a_{ij})\) является матрицей и \(\lambda\) числом, то \(\lambda A\) означает матрицу, \(i,j\) элементом которой является \( \лямбда а_{ij}\).

Пример. \[2 \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&0\\0&2 \end{pmatrix}.\]

Законы сложения и скалярного умножения

Эти операции обладают некоторыми знакомыми свойствами:

Предложение: , если \(a,b\) скаляры и \(A\), \(B\) матрицы одного размера,

• \((a+b)A = aA + bA\ ) (распределение)
• \(а(А+В) = аА + аВ\) (дистрибутивность)
• \(a(bA) = (ab)A\) (ассоциативность)

Нулевая матрица

Есть некоторые обозначения для матрицы, все элементы которой равны нулю. \(0_{m,n}\) или \(0_{m\times n}\) — это матрица \(m\times n\) со всеми нулевыми элементами. Это называется \(m \times n\) нулевой матрицей .

34 Умножение матриц 1

Мы собираемся определить способ умножения некоторых (но не всех) матриц вместе и обосновать определение, исходя из композиции функций. Определение будет построено по частям: первая строка умножается на столбец, затем матрица умножается на столбец, затем матрица умножается на матрицу.

Столбец времени строк

Пусть \(\mathbf{r} = (r_1,\ldots,r_n)\) будет вектором-строкой ширины \(n\) и

\[\mathbf{c} = \begin {pmatrix}c_1 \\ \vdots \\c_n\end{pmatrix}\] 9n r_i c_i\).

Важно отметить, что здесь мы определяем только вектор-строку, умноженный на вектор-столбец. Порядок важен. \(\mathbf{c}\mathbf{r}\) не определен.

Пример. \[ \begin{pматрица} 1&2&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix} = 1\times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 = 32. \]

Это похоже на скалярное произведение, если вы видели это раньше.

Столбец умножения матрицы

Пусть \(A=(a_{ij})\) будет \(m \times n\) матрицей со строками \(\mathbf{r}_1,\ldots, \mathbf{r} _м\). Это означает, что \(\mathbf{r}_i\) является вектором-строкой \((a_{i1},\ldots,a_{in})\)

Пусть \(\mathbf{c}\) — вектор-столбец высоты \(n\). Тогда \(A\mathbf{c}\) определяется как высота \(m\) вектор-столбца \(\begin{pmatrix}\mathbf{r}_1\mathbf{c} \\ \vdots \\ \mathbf {r}_m \mathbf{c} \end{pmatrix}\).

В этом определении важно то, что количество столбцов \(A\), равное \(n\), должно быть таким же, как количество строк \(\mathbf{c}\) для \ (Ac\) необходимо определить.

Пример. Пусть \(A = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}\). Тогда строки \(A\) равны \(\mathbf{r}_1 = \begin{pmatrix} 1&2 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{r}_2 = \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}\). Если \(\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 5\\6 \end{pmatrix}\), то мы можем вычислить \(A\mathbf{c}\), поскольку количество столбцов \(A\) (что равно 2) равно количеству строк \(\mathbf{c}\):

\[A\mathbf{c} = \begin{pmatrix} r_1 \mathbf{c} \\ r_2 \mathbf{с} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\х 5 + 2\х 6\3\х 5 + 4\х 6 \end{pmatrix}\].

Пример. Пусть \(A = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4\\5&6 \end{pmatrix}\), матрица \(3\times 2\) и \(\mathbf{c} = \begin{pmatrix } 7 \\ 8 \end{pmatrix}\), вектор-столбец \(2 \times 1\). Количество столбцов \(A\) и количество строк \(\mathbf{c}\) равны (2), поэтому мы можем вычислить \(A\mathbf{c}\):

\[A\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1\умножить на 7 + 2\умножить на 8\\ 3 \умножить на 7 + 4 \умножить на 8\\ 5 х 7 + 6 х 8 \end{pmatrix}.\]

Матрица, умноженная на матрицу

Пусть \(A\) будет \(m \times n\), а \(B\) будет \(n\times p\). Пусть столбцы \(B\) равны \(\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_p\). Тогда \(AB\) является матрицей \(m\times p\) со столбцами \(A\mathbf{c}_1,\ldots, A\mathbf{c}_p\).

Опять же, важно отметить, что \(AB\) определено, если и только если количество столбцов \(A\) равно количеству строк \(B\).

Это определение говорит о том, что

\[A(\mathbf{c}_1\; \ldots \; \mathbf{c}_p) = (A\mathbf{c}_1\; \ldots \;A\mathbf{c}_p)\]

, что мы имеем в виду, когда говорим, что умножение матриц работает по столбцам или по столбцам .

Пример. Пусть

\[A = \begin{pmatrix} 1 и 2 \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}.\]

\(A\) равно \(1\times 2\), \(B\) равно \(2\times 3\), поэтому произведение матриц \(AB\) равно определена и представляет собой матрицу \(1\times 3\).

Столбцы \(B\) равны \(\mathbf{c}_1 = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{c}_2 = \begin{pmatrix } 0\\1 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{c}_3 = \begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix}\). Таким образом, произведение \(AB\) равно

\[\begin{pmatrix} А\mathbf{c}_1 и А\mathbf{c}_2 и А\mathbf{c}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 умножить на 1 + 2 на 2 и 1 на 0 + 2 на 1 и 1 на 1 и 2 на 1 и 2 0 \end{pmatrix}\]

Пример. Пусть

\[A = \begin{pmatrix} 1&2\\ 3 и 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5&6\\ 7 и 8 \end{pmatrix}.\]

Тогда \(A\) равно \(2\times 2\), \(B\) равно \(2\times 2\), поэтому произведение матриц \(AB\) определено и будет другой матрицей \(2\times 2\):

\[AB = \begin{pmatrix} 1 умножить на 5 + 2 на 7 и 1 на 6 + 2 на 8 3 х 5 + 4 х 7 и 3 х 6 + 4 х 8 \end{pmatrix}. n a_{ik}b_{kj}\)

Свойства умножения матриц

Предложение. Пусть \(A\), \(A’\) будет \(m \times n\), пусть \(B, B’\) будет \(n \times p\), пусть \(C\) будет \(p ​​\times q\), и пусть \(l\) будет числом. Затем 9n a_{ik}b_{kj}= \lambda (AB)_{ij}\] поэтому \((\lambda A)B\) и \(\lambda (AB)\) имеют одинаковые \(i, j \) запись для любого \(i, j\) и, следовательно, равны. Аналогично доказывается второе равенство.

Эти результаты говорят о том, что при работе с матрицами можно использовать некоторые обычные правила алгебры — подобно тому, как это происходило при перестановках. Опять же, как и с перестановками, вы не можете использовать свойство коммутативности.

Умножение матриц некоммутативно

Говорят, что две матрицы \(A\) и \(B\) коммутируют , если \(AB\) и \(BA\) определены и \(AB=BA\).

Для некоторых пар матриц произведение \(AB\) определено, а \(BA\) — нет. Например, если \(A\) равно \(2\times 3\), а \(B\) равно \(3\times 4\), то \(AB\) определено, а \(BA\) — нет. .

Даже если оба \(AB\) и \(BA\) определены и имеют одинаковый размер, в общем случае они не будут равны.

Пример: пусть \(A=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}\) и \(B = \begin{pmatrix} 5&6\\7&8 \end{pmatrix}\). Затем

\[\begin{выравнивание*} AB &= \begin{pmatrix} 19&22\\43&50 \конец{pmatrix}\\ БА &= \begin{pmatrix} 23&34\\31&46 \end{pmatrix}.\end{align*}\]

Единичная матрица

Определение: \(n\) на \(n\) единичная матрица \(I_n\) — это матрица с \(i,j\) запись 1, если \(i=j\) и 0 в противном случае.

Например,

\[I_2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}, I_3 = \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}. \]

Наиболее важным свойством единичных матриц является то, что они ведут себя так же, как число 1 при умножении на него.

Лемма: если \(A\) является \(m \times n\) матрицей, то \(I_m A = A = A I_n\).

Доказательство: Пусть \(A = (a_{ij}), I_n = (\delta_{ij})\), поэтому \(\delta_{ij}\) равно 1, если \(i=j\) и 0 в противном случае. Формула умножения матриц говорит нам, что для любых \(i\) и \(j\) запись \(i,j\) в \(I_mA\) равна \(\sum_k \delta_{ik}a_{kj }\) Единственный член в этой сумме, который может быть ненулевым, это тот, когда \(k=i\), поэтому сумма равна \(1\times a_{ij} = a_{ij}\). Таким образом, запись \(i,j\) в \(I_mA\) равна \(a_{ij}\), запись \(i,j\) в \(A\).

Аналогично доказывается второе равенство.

36 Обратимость I

Определение: \(n \times n\) матрица \(A\) называется обратимой тогда и только тогда, когда существует \(n \times n\) матрица \(B \) такой, что \(AB = BA = I_n\).

Если существует такая матрица \(B\), то такая матрица \(B\) только одна:

Предложение: Если \(AB=BA=I_n\) и \(AC=CA=I_n \), затем \(В=С\).

Доказательство:

\[\begin{align*} Б &= БИ_н \\ &= В(АС) \\ &= (BA)C &\text{ассоциативность} \\ &= I_nC \\ &= C \end{align*}\] 9{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\-c & a \end{pmatrix}\).

Матрицы со строками или столбцами нулей необратимы

Предложение: если матрица \(n\times n\) \(A\) имеет строку нулей или столбец нулей, то она не обратим.

Доказательство: Если \(A\) имеет столбец нулей, то для любой матрицы \(B\) произведение \(BA\) будет иметь столбец, который \(B\) умножить на \(A\) нулевой столбец , который является столбцом нулей. Итак, \(BA\) не равно \(I_n\).

Аналогично, если \(A\) имеет нулевую строку, то для любой матрицы \(B\) произведение \(AB\) также имеет нулевую строку, поэтому оно не равно \(A_n\). {-1}\).

Доказательство такое же, как и для перестановок.

37 Системы линейных уравнений

Определение линейной системы

Определение: Система \(m\) линейных уравнений с \(n\) неизвестными \(x_1…x_n\) с коэффициентами \( a_{ij}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n\) и \(b_1, \ldots, b_m\) — список одновременных уравнений

\[\begin{align*} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 +\cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots +a_{2n}x_n &= b_2 \\ \vdots и \vdots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 +\cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{align*}\]

Матричная форма линейной системы

Каждая система линейных уравнений может быть записана в матричной форме : приведенная выше система эквивалентна

\[A\mathbf{x} = \mathbf{b}\]

где \(A = (a_{ij})\), \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\) и \(\mathbf{b } = \begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\b_m \end{pmatrix}\).

Например, система линейных уравнений

\[\begin{align*} 2x + 3y + 4z &= 5\\ х + 5z &= 0 \end{выравнивание*}\]

имеет матричную форму

\[\begin{pmatrix} 2&3&4 \\ 1 и 0 и 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} х\\у\\г \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix}. { -1}\), чтобы увидеть, что есть 9{-1}\mathbf{b}\).

Увеличенная матрица

Увеличенная матрица системы линейных уравнений, матричная форма которой \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) — это матрица, которую вы получаете, добавляя \(\mathbf{ b}\) в качестве дополнительного столбца справа от \(A\). Мы пишем это как \((A | \mathbf{b})\).

Например, расширенная матрица для приведенной выше системы линейных уравнений будет

\[\begin{pmatrix} 2&3&4&5\\ 1&0&5&0 \end{pmatrix}.\]

Решения системы в матричной форме

Решение системы линейных уравнений с матрицей из \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) является вектором \(\mathbf{y}\ ) (на этот раз чисел, а не «неизвестных») таких, что \(A\mathbf{y}=\mathbf{b}\).

Система линейных уравнений может иметь единственное решение, множество различных решений или вообще не иметь решений. В следующих лекциях мы увидим, как узнать, сколько решений имеет система, если таковые имеются.

Матричное уравнение \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) или соответствующая система линейных уравнений называется непротиворечивый , если он имеет решение, в противном случае он называется несогласованным .

38 Операции со строками

Как мы решаем линейные системы

Если вам дают систему линейных уравнений с переменными \(x, y, z\) и просят решить их, то, вероятно, вы манипулируете уравнениями с помощью добавляя множители одного уравнения к другому, пока вы не «устраните» некоторые переменные и не сможете считать решения.

Попробуем формализовать этот метод решения линейных уравнений.

Поскольку мы хотим использовать матричные методы, давайте решим примерную систему и проследим, что наша работа с уравнением делает с соответствующей расширенной матрицей.

Рассмотрим линейную систему

\[\begin{align*} 3х+4у&=6\х+2у&=5. \end{align*}\]

Соответствующее матричное уравнение имеет вид \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), где

\[A=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{ pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix}6\\ 5 \end{pmatrix}, \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}. \]

Расширенная матрица имеет вид \((A | \mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 3&4&6\\1&2&5 \end{pmatrix}\).

Чтобы решить систему, мы сначала исключаем \(x\) из первого уравнения, вычитая 3 раза второе уравнение из первого. Уравнения становятся

\[\begin{align*} -2у&=-9\ х+2у &= 5 \end{align*}\]

Расширенная матрица \(\begin{pmatrix} -2&0&-9\\1&2&5 \end{pmatrix}\) этой новой системы получается путем сложения \(-3\) раз вторую строку старой расширенной матрицы в первую строку.

Затем мы получаем коэффициент при \(y\) в первом уравнении до 1, умножая первое уравнение на \(-1/2\). Уравнения становятся

\[\begin{align*} у &= 9/2 \\ х+2у &= 5 \end{align*}\]

Расширенная матрица \(\begin{pmatrix} 0&1&9/2\\1&2&5 \end{pmatrix}\) этой новой системы получается путем умножения каждой записи в первой строке старой увеличенная матрица на \(-1/2\).

Далее мы исключаем \(y\) из второго уравнения, вычитая 2 раза первое уравнение из второго. Уравнения становятся

\[\begin{выравнивание*} у &= 9/2 \\ х &= -4 \end{align*}\]

Расширенная матрица \(\begin{pmatrix} 0&1&9/2\\1&0&-4 \end{pmatrix}\) этой новой системы получается путем сложения \(-2\) раз первого ряда во второй ряд.

Наконец, если бы мы хотели, чтобы первое уравнение сообщало нам значение первой переменной, а второе уравнение — о второй переменной, мы могли бы поменять местами порядок двух уравнений, что соответствует перестановке строк расширенной матрицы. чтобы он стал \(\begin{pmatrix} 1&0&-4\\0&1&9/2 \end{pmatrix}\).

Операции со строками

Манипуляции, которые мы выполняем с системами линейных уравнений, соответствуют выполнению «операций со строками» над расширенными матрицами.

Определение: a операция со строками — это одна из следующих вещей, которые мы можем делать с матрицей.

1. добавить \(l\) умножить на строку \(i\) к строке \(j\) (для \(j \neq i\), \(l\) любое число), записать \(r_j \mapsto r_j + l r_i\).
2. умножить строку \(i\) на \(l\), где \(l\neq 0\), пишется \(r_i \mapsto l r_i\).
3. поменять местами строки \(i\) и \(j\), записать \(r_i \leftrightarrow r_j\).

Мы говорим «операция строки» как сокращенную форму операции строки.

Операции со строками являются обратимыми

Важно, чтобы эти операции со строками были обратимыми . То есть для каждой операции строки \(r\) существует другая операция строки \(s\), такая что выполнение \(r\), затем \(s\) или выполнение \(s\), затем \(r\) , это то же самое, что ничего не делать — это возвращает вас к матрице, с которой вы начали.

39 Элементарные матрицы

Определение элементарной матрицы

Элементарную матрицу можно получить, выполнив операцию с одной строкой над единичной матрицей. Они будут иметь решающее значение для нашего понимания обратимости и решения систем линейных уравнений.

Примеры:

• Элементарная матрица \(\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}\) получается в результате выполнения операции строки \(r_1 \leftrightarrow r_2\) в \(I_2\) .
• Элементарная матрица \(\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) получается в результате выполнения операции строки \(r_1 \mapsto r_1 + 2r_2\) в \(I_3\).
• Элементарная матрица \(\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\) получается в результате выполнения операции строки \(r_1 \mapsto (-1)r_1\) в \(I_2\).

Выполнение операции строки аналогично умножению на элементарную матрицу

Выполнение операции строки \(r\) над матрицей имеет тот же эффект, что и умножение этой матрицы слева на элементарную матрицу, соответствующую \(r\ ): 9m s_{lk}a_k \;\;\;\; (\dagger)\]

где \(s_{lk}\) — запись \(l, k\) \(r(I_m)\).

Существует три случая в соответствии с тремя типами операций с строками. В каждом случае мы вычислим \(r(I_m)A\) и покажем, что это то же самое, что и \(r(A)\).

• \(r\) есть \(r_i\mapsto \lambda r_i\). Для \(l\neq i\) \(l\)-я строка \(r(I_m)\) совпадает с \(l\)-й строкой \(I_m\), поэтому \(s_ {lk}=0\), если только \(k=l\) не равно 1. Таким образом, из (\(\dagger\)), \(l\)-й записи \(r(I_m)A\ ) есть \(a_l\). Если \(l=i\), то \(s_{lk}=\lambda\), если \(k=l\), и 0 в противном случае, так что снова через (\(\dagger\)) \(i\)th запись \(r(I_m)A\) равна \(\lambda a_i\). Следовательно, \(r(I_m)A\) совпадает с \(A\), за исключением того, что \(i\)-я запись умножается на \(\lambda\). Это \(г(А)\).
• \(r\) равно \(r_i \leftrightarrow r_j\). Имеются три случая для \(l\).
  • \(l\neq i,j\). В этом случае \(s_{lk}=0\), если только \(k=l\), в этом случае оно равно 1, поэтому из \((\dagger)\) сумма равна \(a_r\).
  • \(л=я\). Поскольку \(r_{ij}(I_m)\) меняет местами строки \(i\) и \(j\) из \(I_m\), \(s_{ik}=1\), если \(k=j\) и 0 в противном случае. Итак, сумма равна \(a_j\).
  • \(l=j\). Как и в последнем случае, сумма равна \(a_i\). Следовательно, \(r(I_m)A\) совпадает с \(A\), за исключением строки \(i\), где появляется \(a_j\), и строки \(j\), где появляется \(a_i\). Это \(г(А)\).
• \(r\) равно \(r_i \mapsto r_i + \lambda r_j\). На этот раз строки \(r(I_m)\) такие же, как строки \(I_m\), за исключением \(i\)th, который имеет \(i, i\) запись 1 и \(i, j\) запись \(\lambda\), поэтому \(s_{ii}=1, s_{ij}=\lambda\), а все остальные \(s_{ik}=0\). Из (\(\dagger\)) каждая запись \(r(I_m)A\) совпадает с соответствующей записью \(A\), кроме \(i\)th, где мы получаем \(a_i+ \lambda a_j\), и снова \(r(I_m)A\) совпадает с \(r(A)\).

Элементарные матрицы обратимы

Следствие: элементарных матриц обратимы.

Доказательство: Пусть \(r\) будет строкой op и \(I\) единичной матрицей. Пусть \(s\) будет строкой, обратной к \(r\).

\(r(I)s(I) = r(sI)\) по только что доказанной теореме, но \(r(s(I))=I\) при \(r\) и \( s\) обратны.

По тем же причинам \(s(I)r(I) = s(r(I)) = I\).

Отсюда следует, что \(r(I)\) обратимо с обратным \(s(I)\).

40 RREF 1

Строковые операции не изменяют решения матричного уравнения

Наш неформальный метод решения линейных систем заключается в том, чтобы «выполнять определенные манипуляции с уравнениями до тех пор, пока они не примут вид, в котором решения легко считываются». Этот метод работает только в том случае, если производимые нами манипуляции не меняют набор решений.

Когда мы ввели операции со строками, это произошло потому, что их влияние на расширенную матрицу линейной системы соответствовало типу манипуляций, которые мы выполняем при решении такой линейной системы. Теперь мы собираемся доказать, что эти операции со строками не меняют набор решений.

Теорема. Предположим, что \((A’ | \mathbf{b}’)\) получается из \((A | \mathbf{b})\) путем выполнения последовательности операций со строками. Тогда множество решений матричного уравнения \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) равно множеству решений \(A’\mathbf{x} = \mathbf{b}’\).

Эквивалентно, если \(\mathbf{v}\) является вектором, то \(A\mathbf{v}=\mathbf{b}\) тогда и только тогда, когда \(A’\mathbf{v} = \mathbf {б}’\).

Доказательство: достаточно проверить это, когда \((A’ | \mathbf{b}’)\) получается в результате выполнения однострочной операции \(r\) в \((A | \mathbf{b} )\). Затем мы можем многократно использовать этот результат, чтобы доказать общий случай, когда \((A’ | \mathbf{b}’)\) получается путем выполнения последовательности операций со строками.

В случае одной строки op \(r\),

\[(A’ | \mathbf{b}’) = r(I) (A | \mathbf{b})\]

поэтому (поскольку умножение матриц работает по столбцам) \(A’ = r(I)A\) и \(\mathbf{b}’ = r(I)\mathbf{b}\).

Теперь для любого вектора \(\mathbf{v}\),

\[A\mathbf{v} = \mathbf{b} \iff r(I)A\mathbf{v} = r(I) \ mathbf{b}.\]

, так как если \(A \mathbf{v} = \mathbf{b}\), то мы можем умножить на \(r(I)\) слева, чтобы получить \(r(A )A \mathbf{v} = r(I) \mathbf{b}\), и наоборот, если \(r(I)A \mathbf{v} = r(I) \mathbf{v}\), то мы можем умножьте на обратную \(r(I)\), которую мы знаем как обратимую из-за нашего доказательства в предыдущей лекции, чтобы получить \(A \mathbf{v} = \mathbf{b}\).

Поскольку \(r(I)A = A’\) и \(r(I) \mathbf{b} = \mathbf{b}’\), мы получаем, что \(\mathbf{v}\) является решение \(A \mathbf{x} = b\) тогда и только тогда, когда оно является решением \(A’ \mathbf{x} = \mathbf{b}’\)

Строковая сокращенная ступенчатая форма

Мы говорили об управлении уравнения в простой форме, где решения можно было легко прочитать. Одна возможная «простая форма» называется ступенчатой ​​формой с уменьшенным числом строк.

Определение: ведущий элемент в матрице — это первый ненулевой элемент в строке, начиная слева.

Например, в матрице \(\begin{pmatrix} 0&2\\0&0 \end{pmatrix}\). ведущей записью в первой строке является 2 в позиции \(1,2\), а во второй строке нет ведущей записи.

Определение. матрица находится в рядной сокращенной ступенчатой ​​форме (RREF), если

• все ведущие элементы равны 1
• все нулевые строки находятся внизу (нулевая строка — это строка, все элементы которой равны нулю)
• все записи в том же столбце, что и ведущая запись, равны нулю
• для каждого \(i\), если строки \(i\) и \(i+1\) имеют ведущую запись, то ведущая запись в строке \(i+1\) находится справа от записи в строке \ (я\)

Примеры.

• \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) не находится в RREF: нулевая строка находится вверху.
• \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) не находится в RREF: есть строка, в которой крайняя левая ненулевая запись не равна 1.
• \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) не находится в RREF: самая левая 1 в строке 2 не находится справа от самой левой 1 в строке ряд над ним.
• \(\begin{pmatrix} 1 &\alpha &\beta & 3 \\ 0 &0 & 1 & -2 \end{pmatrix}\) находится в RREF тогда и только тогда, когда \(\beta = 0\): самая левая 1 в строке 2 находится в столбце 3, но это не единственная ненулевая запись в столбце 3, если только \(\beta = 0\).
• \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) находится в RREF.

41 RREF 2

Существование и уникальность

Вот два факта о форме редуцированного эшелона строки.

1. любую матрицу можно поместить в RREF, выполнив операции со строками.
2. Если \(B\) и \(C\) являются матрицами в RREF, которые являются результатом выполнения строковых операций над матрицей \(A\), то \(B=C\).

Первое относительно легко доказать индукцией по количеству столбцов. Второй немного сложнее. Если вы в это верите, это означает, что мы могли бы говорить о «этой» ступенчатой ​​форме матрицы \(A\), сокращенной по строкам, что означает уникальную матрицу в RREF, которую можно получить, выполняя операции со строками для \(A\). Нам этот результат не нужен, поэтому мы не будем его здесь доказывать. Если вы хотите увидеть доказательства как 1, так и 2, вы можете прочитать их по этой ссылке.

Пример помещения матрицы в RREF

Факт 1 выше говорит о том, что для любой матрицы \(A\) мы можем выполнить последовательность операций со строками для \(A\) и в итоге получить матрицу в RREF. Вот пример.

Пусть \(A = \begin{pmatrix} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}\). Мы хотим выполнить последовательность операций со строками для \(A\), которая заканчивается матрицей в RREF. Строка 1 имеет начальную запись в позиции \(1,1\), но другие записи в столбце 1 не равны 0. Хорошим началом является использование операций строки, таких как \(r_j \mapsto r_j + lr_1\), чтобы устранить другие записи в столбце 1:

\[A \stackrel{r_2 \mapsto r_2-4r_1}{\mapsto} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&-3&-6\\ 7&8&9 \end{pmatrix} \stackrel{r_3 \mapsto r_3-7r_1}{\mapsto} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&-3&-6\\ 0&-6&-12 \end{pmatrix}\]

Эта матрица отсутствует в RREF. Одна из причин заключается в том, что ведущая запись в строке 2 в позиции \(2,2\) не равна 1. Чтобы сделать эту ведущую запись 1, мы можем использовать операцию строки, которая умножает строку 2 на \(-1/ 3\):

\[\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&-3&-6\\ 0&-6&-12 \end{pmatrix} \stackrel{r_2 \mapsto (-1/3)r_2}{\mapsto} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&1&2\\ 0&-6&-12 \end{pmatrix}\]

Теперь у нас есть первая запись в строке 2, столбце 2, равная 1, но в этом столбце есть и другие ненулевые записи. Мы должны устранить их, добавив несколько строк 2 к строкам 1 и 3:

\[\begin{gather*}\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&1&2\\ 0&-6&-12 \end{pmatrix} \stackrel{r_1 \mapsto r_1-2r_2}{\mapsto} \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&2 \\ 0&-6&-12 \end{pmatrix} \\ \stackrel{r_3 \mapsto r_3+6r_2}{\mapsto} \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\end{собрать*}\]

Эта матрица находится в формате RREF, так что мы закончили.

Решения системы, расширенная матрица которой находится в RREF

Предположим, мы начинаем с линейной системы с матричной формой \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), затем помещаем расширенную матрицу \((A | \mathbf{b})\) в RREF. Предположим, что результирующая матрица в RREF равна \((A’ | \mathbf{b}’)\). Весь смысл в том, что решения \(A \mathbf{x} = \mathbf{b}\) такие же, как решения \(A’ \mathbf{x} = \mathbf{b}’\) , но должно быть «легко» найти решения \(A’ \mathbf{x} = \mathbf{b}’\). Как мы на самом деле находим эти решения?

Пример 1. Вот расширенная матрица в RREF

\[\begin{pmatrix} 1&0&2&0&0\\ 0&1&4&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}\]

Если переменные называются \(x, y, z, w\), то соответствующие уравнения равны

\[\begin{align*} х + 2z &= 0 \\ у+4z &= 0\\ ш &= 0 \\ 0 &= 1 \end{align*}\]

Последнее уравнение невозможно, поэтому у этой линейной системы нет решений.

Пример 2. Вот та же расширенная матрица с другим конечным столбцом.

\[\begin{pmatrix} 1&0&2&0&2\\ 0&1&4&0&3\\ 0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\]

В этом случае, если переменные \(x, y, z, w\), уравнения равны

\[\begin{align*} х + 2z &= 2 \\ у+4г &= 3\\ ш &= 4\\ 0 &= 0\end{align*}\]

Решения: \(x=2-2z, y=3-4z, w=4\). Последнее уравнение \(0=0\) ничего нам не говорит, поэтому его можно игнорировать.

Мы можем записать решения в векторной форме как

\[\begin{align*} \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ w\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2-2z\\ 3-4z\\ z\\ 4\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}2\\3\\0\\4\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}-2\\ -4\\ 1\\ 0\end{pmatrix} \end{align*}\]

В общем случае:

• Если последний столбец расширенной матрицы имеет лидирующую запись (как в примере 1), решений нет. В противном случае
• Переменные, соответствующие столбцу без начального элемента (например, \(z\) в примере 2), можно выбирать свободно («свободные параметры»).
• Другие переменные могут быть однозначно определены с помощью этих свободных параметров.

42 Обратимость и RREF

Мы собираемся доказать следующую теорему:

Теорема: квадратная матрица \(A\) обратима тогда и только тогда, когда существует последовательность строковых операций, принимающих \(A\) к единичной матрице.

Нам понадобится пара лемм, чтобы доказательство заработало.

Первая лемма: квадратные матрицы в RREF

Лемма: пусть \(X\) будет \(n \times n\) матрицей в RREF. Либо это идентификатор, либо в нем есть столбец без начального элемента.

Доказательство: предположим, что в каждом столбце есть начальный элемент, поэтому имеется \(n\) начальных элементов. В каждой строке может быть не более одной ведущей записи и всего \(n\) строк, поэтому каждая строка должна иметь ведущую запись.

Пусть \(c_i\) будет номером столбца, в котором находится ведущая запись строки \(i\). Затем \(c_1 < c_2 < \ldots < c_n\) по условию RREF для ведущих записей. Поскольку числа \(c_i\) равны \(1,\ldots, n\) в некотором порядке, они должны быть \(c_i=i\) для всех \(i\). Это означает, что ведущая запись строки 1 находится в столбце 1, ведущая запись строки 2 находится в столбце 2 и так далее.

Поскольку \(X\) находится в RREF, столбцы с ведущими элементами имеют нули во всех остальных позициях. Таким образом, первый столбец равен \(\begin{pmatrix} 1\\0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\), второй столбец равен \(\begin{pmatrix} 0\\1\\0\ \\vdots\\0\end{pmatrix}\) и так далее. Это столбцы единичной матрицы, поэтому \(X=I\).

Вторая лемма: если E обратимо, то EA обратимо тогда и только тогда, когда A обратимо

Лемма: пусть \(E\) обратима и \(A\) — квадратная матрица. Тогда \(EA\) обратимо тогда и только тогда, когда \(A\) обратимо. 9{-1}\) и \(АВЕ = I\), то есть \(А(ВЕ) = I\).

Доказательство теоремы

Предположим, что существует последовательность строковых операций, переводящих \(A\) в \(I\), скажем, \(r_1, \ldots, r_k\). Пусть \(E_i = r_i(I)\), элементарная матрица, связанная с \(r_i\). Тогда

\[E_k E_{k-1} \cdots E_1 A = I\]

, так как мы знаем, что выполнение \(r_i\) равносильно умножению слева на \(E_i\) (это Теорема на видео 7). Каждая элементарная матрица обратима (следствие в видео 7). Матрица \(E = E_k \cdots E_1\) обратима, так как является произведением обратимых матриц (видео 4). \(EA = I\), поэтому оно заведомо обратимо, а значит, по второй лемме выше \(A\) обратимо.

И наоборот, предположим, что нет последовательности операций со строками, переводящих \(A\) в \(I\). Мы можем выполнить последовательность строковых операций с любой матрицей и в итоге получить матрицу RREF, поэтому, когда мы делаем это с \(A\), полученная матрица RREF — назовем ее \(X\) — не может быть \(I \).

Наша первая лемма выше говорит, что \(X\) имеет столбец без ведущей записи, поэтому есть \(n-1\) или меньше ведущих записей, поэтому есть строка без начальных записей, то есть нулевая строка . Итак, \(X\) необратим (первое предложение, видео 4).

Если \(A\) необратима, мы можем выполнить последовательность строковых операций для \(A\), заканчивающуюся матрицей RREF \(X\), которая не может быть идентичной из-за предыдущей теоремы.

Согласно первой лемме выше, \(X\) имеет столбец без начального элемента. Это означает, что в решениях \(X \mathbf{x} = \mathbf{0}\) есть свободный параметр, и, в частности, существует бесконечно много различных решений \(X \mathbf{x} = \mathbf {0}\) (поэтому существует ненулевое решение).

Решения \(X \mathbf{x} = \mathbf{0}\) совпадают с решениями \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\) (теорема из видео 8) , поэтому \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\) также имеет ненулевое решение.

43 Как вычислить обратную матрицу

Пусть \(A\) — квадратная матрица. Теперь у нас есть метод определения того, является ли \(A\) обратимым: выполняйте операции со строками над \(A\), пока не достигнете матрицы в RREF. Тогда \(A\) обратима тогда и только тогда, когда обратима RREF-матрица. 9{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} а_{22} и а_{23} \\ а_{32}и а_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} а_{12} и а_{13} \\ а_{32}и а_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} а_{12} и а_{13} \\ а_{22}и а_{23} \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} а_{21} и а_{23} \\ а_{31}и а_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} а_{11} и а_{13} \\ а_{31}и а_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} а_{11} и а_{13} \\ а_{21}и а_{23} \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} а_{21} и а_{22} \\ а_{31}и а_{32} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} а_{11} и а_{12} \\ а_{31}и а_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} а_{11} и а_{12} \\ а_{21}и а_{22} \end{vmatrix} \end{pmatrix}\]

, где \(\begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix}\) означает \(ad-bc\) и \(\Delta = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{ 12}а_{23}а_{31} + а_{13}а_{21}а_{32}-а_{11}а_{23}а_{32} — а_{12}а_{21}а_{33} — а_{13}а_{22}а_{31}\). Это не очень хорошая формула для практического использования. К счастью, мы можем использовать методы RREF для определения обратимости и поиска инверсий.

Как определить обратимость и найти обратные

Пусть \(A\) — матрица \(n\times n\), и предположим, что мы хотим выяснить, является ли \(A\) обратимым, и если да, то какой обратной является. Пусть \(I\) будет \(n\times n\) единичной матрицей. Вот метод:

1. Сформируйте сверхрасширенную матрицу \((A | I)\).
2. Выполните операции строки, чтобы поместить это в RREF.
3. Если вы получаете \((I | B)\), то \(A\) обратимо с обратным \(B\).
4. Если первая часть матрицы не \(I\), то \(A\) необратима.

Почему это работает: первая часть матрицы представляет собой матрицу RREF, полученную в результате выполнения строковых операций для \(A\), поэтому, если это \(I\), то \(A\) обратимо, а если нет \(I\), то \(A\) необратим. Остается только объяснить, почему в случае обратимости \(A\) получается \((I | A^{-1})\).

Подумайте о столбцах \(\mathbf{c}_1,\ldots, \mathbf{c}_n\) инверсии \(A\). У нас есть \(A (\mathbf{c}_1 \; \cdots \; \mathbf{c}_n) = I\), поэтому \(A\mathbf{c}_1 = \mathbf{e}_1\), \(A \mathbf{c}_2 = \mathbf{e}_2\) и т. д., где \(\mathbf{e}_i\) — i-й столбец \(I\). Таким образом, \(\mathbf{c}_1\) является единственным решением матричного уравнения \(A\mathbf{x} = \mathbf{e}_1\). Вы обнаружите это, подставив \((A | \mathbf{e}_1)\) в RREF, и вы должны получить \((I | \mathbf{c}_1)\), поскольку \(\mathbf{c}_1\ ) — единственное решение. 9{-1})\).

Пример этого метода поиска обратных значений

Пусть \(A=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4\end{pmatrix}\). Чтобы узнать, является ли \(A\) обратимым, и если да, то каково его обратное значение, мы помещаем \((A | I_2)\) в RRE-форму:

\[\begin{align*} \begin{pматрица} 1 и 2 и 1 и 0 \\ 3 и 4 и 0 и 1 \end{pmatrix} & \stackrel{r_2 \mapsto r_2-3r_1}{\mapsto} \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-2&-3&1 \end{pматрица} \\ & \stackrel{r_2 \mapsto (-1/2)r_2}{\mapsto} \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0, 1, 3/2 и -1/2 \end{pматрица} \\ & \stackrel{r_1 \mapsto r_1-2r_2}{\mapsto} \begin{pmatrix} 1&0&-2 & 1 \\ 0&1&3/2&-1/2 \end{pматрица} \end{выравнивание*}\]

Это в форме RRE, поэтому инверсия \(A\) равна

\[\begin{pmatrix} -2&1 \\ 3/2 и -1/2 \end{pmatrix}\]

, как вы можете проверить, перемножив их вместе.

Глава 22: Векторы и матрицы

22.1 Соединение скалярного произведения

Есть конъюнкция. (точка, называемая «точечный продукт»). Его можно использовать вместо @: для вычисления суммы произведений двух списков.

Очевидно, . союз — форма композиции, вариант @: или @. Ниже мы увидим, что это удобнее для работы с векторами и матрицами.

22.2 Скалярное произведение векторов

Если P и Q интерпретируются как векторы, то выражение P (+/ . *) Q дает то, что называется «скалярным произведением» P и Q. Другие названия того же самого: «точечный продукт», «внутренний продукт» или «внутренний продукт». «матричный продукт», в зависимости от контекста. В этой главе мы будем придерживаться нейтрального термина «точечный продукт», для которого мы определяем функцию точка:

Определение из учебника скалярного произведения векторов P и Q может иметь вид:

          (величина P) * (величина Q) * (cos альфа)
 

   ma =: %: @: (+/ @: *:)
   ca =: 4 : '(-/ *: b,(ma x-y), c) % (2*(b=.ma x)*(c=.ma y))'
 

то мы видим, что глагол с точкой эквивалентен приведенной выше форме из учебника

22.3 Матричный продукт

Чтобы вычислить Z =: точка B последнее измерение A должно равняться первое измерение В.

   А =: 2 5 $ 1
   В =: 5 4 $ 2
 

Пример показывает, что последний и первый размеры исчезают из результата. Если эти два размеры не равны, то сигнализируется ошибка.

22.4 Обобщения

22.4.1 Различные глаголы

Например, рассмотрим отношения между людьми: человек i является потомком человека j, представленного квадратом логическая матрица истинна в строке i, столбце j. Использование глаголов +. (логическое ИЛИ) и *. (логическое-и) мы можем вычислить отношения внука с глаголом (+./. *.).

   г =: +. / . *.
 

   С =: 4 4 $ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
 

Мы можем видеть из C, что человек 3 является ребенком человека 1, а человек 1 является потомком человека 0. Следовательно, как мы видим в G человек 3 является внуком человека 0.

22.4.2 Символьная арифметика

   pa =: ('('&,) @: (,&')')
   cp =: [ ` па @.  (+./ @: ('+-*' & e.))
   символ =: (1 : (':';' x), u, (cp > y)'))(" 0 0)
   
   splus =: символ «+»
   sminus =: символ '-'
   sprod =: символ '*'
   
   а =:
   б =:
   с =:
 

Как вариант символического произведения, мы могли бы опустить умножение символ чтобы дать эффект, более похожий на обычные обозначения:

   sprodc =: ''символ
 

В качестве аргументов для соединения «точечный продукт» мы могли бы поставить глаголы для выполнения символьной арифметики. Для точечного глагола, который мы помним, это (+/ . *), символическая версия:

   sdot =: сплюс / . sprodc
 

   S =: 3 2 $
   Т =: 2 3 $
 

22.4.3 Матричный продукт в более чем двух измерениях

   А =: 1 2 3 $
   В =: 3 2 2 $
 

Последнее измерение A должно равняться первому измерению B. Форма результата Z главные размеры A последовал по задним размерам B.

Последнее и первое измерение A и B исчезли, потому что каждый безразмерный скаляр в Z объединяет «строку» A с «столбцом» B. Мы видим в результате Z, что каждая строка A сочетается отдельно со всей Б.

22.4.4 Точка по сравнению с @:

   ЗНАКИ =: 1 : 'u b. 0'
   LRANK =: 1 : '1 { (u RANKS)' NB. только левый ранг
 

Общая схема определения диадических глаголов формы (u.v):

             ты . v означает u @ (v "(1+L, _)) где L = (v LRANK)
 

              ты .  v означает (u @: v) "(1+L, _)
 

        и поэтому
 

             +/.* означает (+/ @: *)" 1 _
 

22,5 Определитель

   дет =: - / . *
 

Символически:

   сдет =: сминус / . sprodc
 

22.

В следующих пример A — (символическая) сингулярная матрица, где m постоянный множитель.

Мы видим, что результирующий член (amb-mab) должен быть равен нулю для всех а, б и м.

22,6 Разделение матрицы

22.6.1 Синхронные уравнения

              3х + 4у = 11
 

              2х + 3у = 8
 

              М точка U = R
 

Вектор неизвестных U (то есть x, y) можно найти путем деления R на матрицу M.

Мы видим, что M dot U равно R, то есть U решает уравнения.

22.6.2 Комплексные, рациональные и векторные переменные

или в рациональных числах. В этом случае и М, и Р должны быть рациональными, чтобы дать рациональный результат.

   М =: 2 2 $ 3x 4x 2x 3x
   Р =: 15р22 11р16
 

В предыдущих примерах неизвестными в U были скаляры. Теперь предположим, что неизвестные являются векторами и наши уравнения для решения являются:

              3х + 4у = 15 22
 

              2х + 3у = 11 16
 

   М =: 2 2 $ 3 4 2 3
   R =: 2 2 $ 15 22 11 16
 

Неизвестные x и y — это строки U, то есть векторы.

22.6.3 Изогнутый фитинг

   х =: 10 20 30
   у =: 31 49 70
 

                  у = а + Ьх
 

         1 . а + 10 .  б = 31
 

         1 . а + 20 . б = 49
 

         1 . а + 30 . б = 70
 

   М =: 3 2 $ 1 10 1 20 1 30
 

Здесь у нас больше уравнений, чем неизвестных, (больше строк, чем столбцов в M) и поэтому решения U лучше всего подходят ко всем уравнениям вместе. Мы видим, что M точка U близко, но не точно равно y.

«Наилучшее соответствие» означает, что сумма квадратов ошибки сведены к минимуму, где ошибки задается y — M точка U. Если сумма квадратов минимизирована, то мы ожидаем, что слегка возмущая U, сумма квадратов увеличивается.

Метод распространяется непосредственно на подгонку многочлен к набору точек данных. Предположим, мы стремимся соответствовать

          у = а + Ьх + сх  2  

   х =: 0 1 2 3
   у =: 1 6 17 34,1
 

      1.а + Ьх  0  + сх 9/ 0 1 2
 

Уравнений может быть больше, чем неизвестных, как показывает этот пример, но очевидно, что их не может быть меньше. То есть в R%. M-матрица M должна иметь не больше столбцов, чем строк.

22.6.4 Деление на массивы более высокого ранга

   М =: 3 2 2 $ 3 4 2 3 0 3 1 2 3 1 2 3
   Р =: 21 42
 

М	Р	U =: R %. М	М точка У	М точка»2 1 ЕВ
3 4 2 3 0 3 1 2 3 1 2 3	21 42	_105 84   28  7    3 12	ошибка	21 42 21 42 21 42

Диадический ранг %. _ 2,

   %. б. 0
2 _ 2
 

Условие R=M dot U, очевидно, не выполняется. (поскольку последняя размерность M не равна первый из U), но он выполняется отдельно для каждой матрицы в M с соответствующей строкой U.

22.7 Идентификационная матрица

   М =: 3 3 $ 3 4 7 0 0 4 6 0 3
 

М	I =: М %. М	М точка I
3 4 7 0 0 4 6 0 3	1 0 0 0 1 0 0 0 1	3 4 7 0 0 4 6 0 3

22,8 обратная матрица

Для вектора V обратный W имеет обратную величину и то же направление. Таким образом, произведение величин равно 1 и косинусу угла между ними равен 1.

Это конец 22 главы.

Формула векторного произведения

Геометрическое определение векторного произведения хорош для понимания свойств перекрестного произведения. Однако геометрическое определение не так полезно для вычисления векторное произведение векторов. Для вычислений нам понадобится формула в члены компонентов векторов. Начнем с использования геометрического определение для вычисления векторного произведения стандартных единичных векторов. 93$. (Мы определяем перекрестное произведение только в трех измерениях. Обратите внимание, что мы предполагаем правостороннюю систему координат.)

Загрузка апплета

Стандартные единичные векторы в трех измерениях. Стандартные единичные векторы в трех измерениях, $\vc{i}$ (зеленый), $\vc{j}$ (синий) и $\vc{k}$ (красный), представляют собой векторы длины один, которые указывают параллельно ось $x$, ось $y$ и ось $z$ соответственно. Перемещение их с помощью мыши не меняет вектора, поскольку они всегда указывают в положительном направлении соответствующей оси.

Дополнительная информация об апплете.

Параллелограмм, натянутый на любые два из этих стандартных единичных векторов, равен единичный квадрат, площадь которого равна единице. Следовательно, по геометрическое определение, крест произведение должно быть единичным вектором. Поскольку перекрестное произведение должно быть перпендикулярно двум единичным векторам, он должен быть равен другому единичный вектор или противоположный этому единичному вектору. Глядя на выше график, вы можете использовать правило правой руки, чтобы определить следующее Результаты. \начать{выравнивать*} \vc{i} \times \vc{j} &= \vc{k}\\ \vc{j} \times \vc{k} &=\vc{i}\\ \vc{k} \times \vc{i} &= \vc{j} \конец{выравнивание*} Эта небольшая циклическая диаграмма поможет вам запомнить эти результаты.

Как насчет $\vc{i} \times \vc{k}$? По правилу правой руки должно быть $-\vc{j}$. Помня, что $\vc{b} \times \vc{a} = — \vc{a} \times \vc{b}$, можно сделать вывод, что \начать{выравнивать*} \vc{j} \times \vc{i} &= -\vc{k}\\ \vc{k} \times \vc{j} &= -\vc{i}\\ \vc{i} \times \vc{k} &= -\vc{j}. \конец{выравнивание*}

Наконец, векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулю вектор ($\vc{a} \times \vc{a}=\vc{0}$). В частности, перекрестное произведение любого стандартный единичный вектор с самим собой является нулевым вектором.

Общие векторы

За исключением двух специальных свойств, упомянутых выше ($\vc{b} \times \vc{a} = -\vc{a} \times \vc{b}$, и $\vc{a} \times \vc{a} = \vc{0}$), мы просто утверждаем, что векторное произведение ведет себя как обычное умножение. Он подчиняется следующим свойствам:

• $(y\vc{a}) \times \vc{b} = y(\vc{a} \times \vc{b}) = \vc{a} \раз (г\вк{б})$,
• $\vc{a} \times (\vc{b}+\vc{c}) = \vc{a} \times \vc{b} + \vc{a} \times \vc{c}$, 93$ и $y$ скаляр. (Эти свойства означают, что векторное произведение является линейным.) Мы можем использовать эти свойства вместе с векторным произведением стандартных единичных векторов, чтобы написать формулу для креста продукт по компонентам.

  Компоненты $\vc{a}$ и $\vc{b}$ запишем как: \начать{выравнивать*} \vc{a} = (a_1,a_2,a_3)= a_1 \vc{i} + a_2 \vc{j} + a_3 \vc{k}\\ \vc{b} = (b_1,b_2,b_3)= b_1 \vc{i} + b_2 \vc{j} + b_3 \vc{k} \конец{выравнивание*}

  Сначала предположим, что $a_3=b_3=0$. (Затем манипуляции намного проще.) Рассчитываем: \начать{выравнивать*} \vc{a} \times \vc{b} &= (a_1 \vc{i} + a_2 \vc{j}) \times (b_1 \vc{i} + b_2 \vc{j})\\ &= a_1b_1 (\vc{i}\times\vc{i}) + a_1b_2(\vc{i} \times \vc{j}) + a_2b_1 (\vc{j} \times \vc{i}) + a_2b_2 (\vc{j} \times \vc{j}) \конец{выравнивание*} Поскольку мы знаем, что $\vc{i} \times \vc{i}= \vc{0}= \vc{j} \times \vc{j}$ и что $\vc{i} \times \vc{j} = \vc{k} = -\vc{j} \times \vc{i}$, это быстро упрощается до \начать{выравнивать*} \vc{a} \times \vc{b} &= (a_1b_2-a_2b_1) \vc{k}\\ &= \влево| \begin{массив}{cc} а_1 и а_2\\ б_1 и б_2 \конец{массив} \право| \vc{к}. \конец{выравнивание*} Запись результата в виде определитель, как мы это делали в последний шаг, это удобный способ запомнить результат.

  Общий случай, когда $a_3$ и $b_3$ не равны нулю, немного сложнее. Однако это просто вопрос повторения тех же манипуляций, описанных выше, с использованием векторного произведения единичных векторов и свойств векторного произведения.

  Мы начинаем с расширения продукта \начать{выравнивать*} \vc{a} \times \vc{b} &= (a_1 \vc{i} + a_2 \vc{j} + a_3\vc{k}) \times (b_1 \vc{i} + b_2 \vc{j} + b_3\vc{k})\\ &= a_1b_1 (\vc{i}\times\vc{i}) + a_1b_2(\vc{i} \times \vc{j}) + a_1b_3(\vc{i} \times \vc{k})\\ &\ четырехъядерный + a_2b_1 (\vc{j} \times \vc{i}) + a_2b_2 (\vc{j} \times \vc{j}) + a_2b_3 (\vc{j} \times \vc{k})\\ &\ четырехъядерный + a_3b_1 (\vc{k} \times \vc{i}) + a_3b_2 (\vc{k} \times \vc{j}) + a_3b_3 (\vc{k} \times \vc{k}) \конец{выравнивание*} а затем вычислить все перекрестные произведения единичных векторов \начать{выравнивать*} \vc{a} \times \vc{b} &= a_1b_2 \vc{k} — a_1b_3 \vc{j} — a_2b_1 \vc{k} + a_2b_3 \vc{i} + a_3b_1 \vc{j} — a_3b_2 \vc{i}\\ «=» (a_2b_3-a_3b_2)\vc{i} — (a_1b_3-a_3b_1) \vc{j} +(a_1b_2-a_2b_1) \vc{k}. \конец{выравнивание*} Используя определители, мы можем записать результат как \начать{выравнивать*} \vc{a} \times \vc{b} &=\left| \begin{массив}{cc} а_2 и а_3\\ б_2 и б_3 \конец{массив} \право| \vc{я} — \влево| \begin{массив}{cc} а_1 и а_3\\ б_1 и б_3 \конец{массив} \право| \vc{j} + \влево| \begin{массив}{cc} а_1 и а_2\\ б_1 и б_2 \конец{массив} \право| \vc{к}. \конец{выравнивание*}

  Глядя на формулу определителя $3 \times 3$, мы видим, что формула для перекрестный продукт очень похож на формулу для $3 \times 3$ определитель. Если мы позволим матрице иметь вектор $\vc{i}$, $\vc{j}$ и $\vc{k}$ в качестве записей (хорошо, может быть, это не имеет смысла, но это всего лишь инструмент для запоминания перекрестного произведения), $3 Определитель \times 3$ дает удобную мнемонику для запоминания креста продукт: \начать{выравнивать*} \vc{a} \times \vc{b} = \влево| \begin{массив}{ccc} \vc{i} & \vc{j} & \vc{k}\\ а_1 и а_2 и а_3\\ б_1 и б_2 и б_3 \конец{массив} \право|. \конец{выравнивание*} Это компактный способ запомнить, как вычислять векторное произведение.

  Матричные уравнения

  Цели

  1. Понимать эквивалентность между системой линейных уравнений, расширенной матрицей, векторным уравнением и матричным уравнением.
  2. Охарактеризуйте векторы b так, что Ax=b непротиворечиво, с точки зрения диапазона столбцов A.
  3. Охарактеризуйте матрицы A таким образом, что Ax=b непротиворечиво для всех векторов b.
  4. Рецепт: умножить вектор на матрицу (два способа).
  5. Фото: множество всех векторов b, таких что Ax=b, непротиворечиво.
  6. Словарное слово: матричное уравнение .

  В этом разделе мы представляем очень лаконичный способ записи системы линейных уравнений: Ax=b. Здесь A — матрица, а x,b — векторы (обычно разного размера), поэтому сначала мы должны объяснить, как умножать матрицу на вектор.

  Когда мы говорим, что «A представляет собой матрицу размера m × n», мы имеем в виду, что A имеет m строк и n столбцов.

  Определение

  Пусть A — матрица размера m×n со столбцами v1,v2,…,vn:

  А=С|||v1v2···vn|||D

  Произведение оператора A с вектором x в Rn является линейной комбинацией

  Ax=C|||v1v2···vn|||DEIIGx1x2…xnFJJH=x1v1+x2v2+···+xnvn.

  Это вектор в Rm.

  Пример

  Чтобы Ax имело смысл, количество элементов x должно совпадать с количеством столбцов A: мы используем элементы x как коэффициенты столбцов A в линейной комбинации. Результирующий вектор имеет то же количество элементов, что и число 9.4534 строки A, так как каждый столбец A имеет такое количество записей.

  Если A представляет собой матрицу размера m × n (m строк, n столбцов), то Ax имеет смысл, когда x имеет n элементов. Произведение Ax содержит m записей.

  Свойства матрично-векторного произведения

  Пусть A — матрица размера m × n, пусть u, v — векторы в Rn, а c — скаляр. Тогда:

  • А(и+в)=Аи+Ав
  • A(cu)=cAu

  Определение

  Матричное уравнение — это уравнение формы Ax=b, где A — матрица размера m × n, b — вектор в Rm, а x — вектор, коэффициенты которого x1,x2,. ..,xn неизвестны. .

  В этой книге мы изучим два дополнительных вопроса о матричном уравнении Ax=b:

  1. При конкретном выборе b, каковы все решения Ax=b?
  2. Каковы все варианты b, чтобы Ax=b было непротиворечивым?

  Первый вопрос больше похож на вопросы, к которым вы, возможно, уже привыкли на предыдущих курсах алгебры; у вас есть много практики решения уравнений типа x2−1=0 относительно x. Второй вопрос, возможно, является новой концепцией для вас. Теорема о рангах в разделе 2.9, который является кульминацией этой главы, говорит нам, что эти два вопроса тесно связаны.

  Пример

  Мы будем свободно перемещаться между четырьмя способами записи линейной системы снова и снова до конца книги.

  Другой способ вычислений Axe

  Приведенное выше определение является полезным способом определения произведения матрицы на вектор, когда дело доходит до понимания взаимосвязи между матричными уравнениями и векторными уравнениями. Здесь мы даем определение, которое лучше подходит для ручных вычислений.

  Определение

  Вектор-строка представляет собой матрицу с одной строкой. Произведение вектора-строки длины n и вектора (столбца) длины n равно

  .

  Aa1a2···anBEIIGx1x2…xnFJJH=a1x1+a2x2+···+anxn.

  Это скаляр.

  Рецепт: Правило строки-столбца для умножения матрицы на вектор

  Если A — матрица размера m×n со строками r1,r2,…,rm, а x — вектор в Rn, то

  Ax=EIIG—r1——r2—…—rm—FJJHx=EIIGr1xr2x…rmxFJJH.

  Пример

  Пусть A — матрица со столбцами v1,v2,…,vn:

  А=С|||v1v2···vn|||D.

  Затем

  Ax=bhas решение⇐⇒существуют x1,x2,…,xn такие, что AEIIGx1x2…xnFJJH=b⇐⇒существуют x1,x2,…,xn такие, что x1v1+x2v2+···+xnvn=b⇐⇒бисалинейная комбинация v1,v2,… ,vn⇐⇒bis находится в диапазоне столбцов матрицы A.

  Пролеты и согласованность

  Матричное уравнение Ax=b имеет решение тогда и только тогда, когда b находится в диапазоне столбцов A.

  Это дает эквивалентность между алгебраических оператора (Ax=b непротиворечиво) и геометрических оператора (b находится в промежутке столбцов A).

  Пример (несогласованная система)

  Пример (согласованная система)

  Когда решения всегда существуют

  Опираясь на это примечание, у нас есть следующий критерий того, когда Ax=b соответствует каждому выбору b.

  Теорема

  Пусть A — матрица размера m × n (нерасширенная). Следующие эквивалентны:

  1. Ax=b имеет решение для всех b в Rm.
  2. Пролет колонн A равен Rm.
  3. A имеет точку поворота в каждой строке.

  Доказательство

  Эквивалентность 1 и 2 устанавливается этим примечанием применительно к каждому b в Rm.

  Теперь покажем, что 1 и 3 эквивалентны. (Поскольку мы знаем, что 1 и 2 эквивалентны, отсюда следует, что 2 и 3 также эквивалентны.) Если A имеет центральную точку в каждой строке, то его сокращенная ступенчатая форма строки выглядит следующим образом:

  К10А0А01А0А0001АД,

  и поэтому AAbB сводится к этому:

  C10A0AA01A0AA0001AAD.

  Нет b, который делал бы его несовместимым, поэтому всегда есть решение. Наоборот, если A не имеет стержня в каждой строке, то его уменьшенная ступенчатая форма строки выглядит так:

  К10А0А01А0А00000Д,

  , что может привести к противоречивой системе после добавления b:

  C10A0A001A0A00000016D.

  Напомним, что эквивалентно означает, что для любой заданной матрицы A либо все условий приведенной выше теоремы верны или все они ложны.

  Будьте внимательны при чтении утверждения приведенной выше теоремы. Первые два условия очень похожи на это примечание, но логически они совершенно разные из-за квантификатора «94 534 для всех 94 535 b».

  Интерактив: Критерии теоремы выполнены

  Интерактив: Критерии теоремы не выполняются

  Комментарии, исправления или предложения? (Требуется бесплатная учетная запись GitHub)

  19.2: Приложение — Алгебра матриц

  1. Последнее обновление

  2. Сохранить как PDF

• Идентификатор страницы

  9685

• Дуглас Клайн
• Университет Рочестера

Матрицы

Алгебра матриц обеспечивает элегантное и мощное представление многомерных операторов и преобразований координат, которые занимают видное место в классической механике. Например, они играют ключевую роль в нахождении собственных значений и собственных функций для связанных уравнений, возникающих при вращении твердого тела и системах связанных осцилляторов. Понимание роли матричной механики в классической механике облегчает понимание не менее важной роли матричной механики в квантовой физике. 9{го}\) века, и концепция матричной алгебры была разработана Артуром Кейли в Англии в 1855 году, многие из этих идей были работой Гамильтона, и обсуждение матричной алгебры было похоронено в более общем обсуждении определителей. Матричная алгебра была эзотерической ветвью математики, малоизвестной физическому сообществу, до 1925 года, когда Гейзенберг предложил свою новаторскую новую квантовую теорию. Поразительной особенностью этой новой теории было представление физических величин наборами зависящих от времени комплексных чисел и своеобразным правилом умножения. Макс Борн понял, что правило умножения Гейзенберга — это просто стандартное правило умножения «строка на столбец» матричной алгебры; тема, с которой он столкнулся, когда был молодым студентом на курсе математики. В 1924 Ричард Курант только что закончил первый том нового учебника Methods of Mathematical Physics , во время которого Паскуаль Джордан работал его молодым ассистентом, работая с матрицами. К счастью, Джордан и Борн оказались в одном вагоне поезда до Ганновера, во время которого Джордан услышал, как Борн рассказывает о своих проблемах при работе с матрицами. Джордан представился Борну и предложил помощь. Это привело к публикации в сентябре 1925 г. знаменитой статьи Борна-Джордана [Bor25a], которая дала первую строгую формулировку матричной механики в физике. За этим последовало в ноябре продолжение Борна-Гейзенберга-Джордана [Bor25b], в котором был установлен логически непротиворечивый общий метод решения задач матричной механики плюс связь между математикой матричной механики и линейной алгеброй. Матричная алгебра превратилась в важный инструмент в математике и физике во время Второй мировой войны, и теперь она является неотъемлемой частью студенческих курсов линейной алгебры.

Большинство применений матричной алгебры в этой книге ограничиваются вещественными симметричными квадратными матрицами. Размер матрицы определяется рангом, который равен рангу строки и рангу столбца, то есть количеству независимых векторов-строк или векторов-столбцов в квадратной матрице. Предполагается, что вы изучали матрицы в курсе линейной алгебры. Таким образом, цель этого обзора — перечислить простые манипуляции с симметричными матрицами и диагонализацию матриц, которые будут использоваться в этом курсе. Если вам нужны дополнительные подробности, вас отсылают к учебнику по линейной алгебре.

Определение матрицы

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел с \(M\) строками и \(N\) столбцами. Для элемента матрицы используется обозначение \(A_{ij}\), где \(i\) обозначает строку, а \(j\) обозначает столбец этого матричного элемента в матрице \(\mathbf{A} \). Соглашение обозначает матрицу \(\mathbf{A}\) как

\[\mathbf{A} \equiv \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1(N−1 )} & A_{1N} \\ A_{21} & A_{22} & . . & A_{2(N−1)} & A_{2N} \\ : & : & A_{ij} & : & : \\ A_{(M−1)1} & A_{(M−1)2} & .. & A_{(M−1)(N−1)} & A_{(M−1)N} \\ A_{M1} & A_{M2} & \dots & A_{M(N−1)} & A_{MN} \end{pmatrix} \label{A.1}\]

Матрицы могут быть квадратными, \(M = N\), или прямоугольными \(M \neq N\). Матрицы, имеющие только одну строку или столбец, называются векторами строк или столбцов соответственно и нуждаются только в одной метке нижнего индекса. Например,

\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ : \\ A_{M−1} \\ A_M \end{pmatrix} \label{A.2}\]

Манипуляции с матрицами

Матрицы подчиняются определенным правилам манипулирования матрицами, как указано ниже.

1) Умножение матрицы на скаляр \(\lambda\) просто умножает каждый элемент матрицы на \(\lambda \).

\[C_{ij} = \lambda A_{ij} \label{A.3}\]

2) Сложение двух матриц \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\ ) с одинаковым рангом, т. е. количеством столбцов, определяется как

\[C_{ij} = A_{ij} + B_{ij} \label{A. 4}\]

3) Умножение матрицы \(\mathbf{A}\) матрицей \(\mathbf{B}\) определяется только в том случае, если количество столбцов в \(\mathbf{A}\) равно количеству строк в \(\mathbf{ Б}\). Матрица произведения \(\mathbf{C}\) задается матричным произведением

\[\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \label{A.5}\]

\[C_{ij} = [AB]_{ij} = \ sum_k A_{ik}B_{kj} \label{A.6}\]

Например, если обе матрицы \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\) являются симметричными матрицами третьего ранга, то

\[\begin{align*} \mathbf{C} &= \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \\[4pt] &= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} B_ {11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{pmatrix} \\[4pt] &= \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} + A_{13}B_{31} & A_{11}B_{12} + A_{ 12}B_{22} + A_{13}B_{32} и A_{11}B_{13} + A_{12}B_{23} + A_{13}B_{33} \\ A_{21}B_{ 11} + A_{22}B_{21} + A_{23}B_{31} и A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} + A_{23}B_{32} и A_{ 21}B_{13} + A_{22}B_{23} + A_{23}B_{33} \\ A_{31}B_{11} + A_{32}B_{21} + A_{33}B_{ 31} и A_{31}B_{12} + A_{32}B_{22} + A_{33}B_{32} и A_{31}B_{13} + A_{32}B_{23} + A_{ 33}B_{33} \конец {pmatrix} \end{align*}\] 9T \right)_{ij} = A_{ji} \label{A. 8}\]

Транспонирование вектор-столбца является вектором-строкой. Обратите внимание, что в старых текстах для транспонирования используется символ \(\mathbf{\tilde{A}}\).

Единичная (единичная) матрица \(\mathbb{I}\)

Единичная (единичная) матрица \(\mathbb{I}\) является диагональной с диагональными элементами, равными 1, то есть

\[ \mathbb{I}_{ij} = \delta_{ij} \label{A.9}\]

, где дельта-символ Кронекера определяется как

\[\begin{align} \delta_{ik} & = 0 && \text{ if } i \neq k \label{A.10} \\ & = 1 && \text{ if } i = k \nonumber\end{align}\] 9N_{i=1} A_{ii} \label{A.21}\]

Внутреннее произведение векторов-столбцов

Вещественные векторы

Обобщение скалярного (точечного) произведения в евклидовом пространстве называется скалярным произведением . Использование правил умножения матриц требует транспонирования первого вектора-столбца для формирования вектора-строки, который затем умножается на второй вектор-столбец с использованием обычных правил умножения матриц. N_{i=1} X_iY_i \label{A.22}\] 9N_{j=1} \varepsilon (j_1, j_2, \dots .j_N )A_{1j_1}A_{2j_2} \dots A_{Nj_N} \label{A.26}\]

где \(\varepsilon (j_1 , j_2, \dots .j_N )\) — это индекс перестановки, который может быть четным или нечетным в зависимости от количества перестановок, необходимых для перехода от нормального порядка \((1, 2, 3, \dots N)\) к последовательность \((j_1j_2j_3\dots j_N )\).

Например, для \(N = 3\) определитель равен

\[|\mathbf{A}| = А_{11}А_{22}А_{33} + А_{12}А_{23}А_{31} + А_{13}А_{21}А_{32} — А_{13}А_{22}А_{ 31} − A_{11}A_{23}A_{32} − A_{12}A_{21}A_{33} \label{A.27}\]

Свойства

1. Значение определителя \(|A| = 0\), если
   1. все элементы строки (столбца) равны нулю.
   2. все элементы строки (столбца) идентичны или кратны соответствующим элементам другой строки (столбца).
2. Значение определителя остается неизменным, если
   1. строки и столбцы меняются местами.
   2. к любой строке добавляется линейная комбинация любого количества строк. 9Т\право| = |\mathbf{A}|\)
   3. Если любую строку (столбец) умножить на постоянный множитель, то значение определителя умножается на тот же множитель.
   4. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов диагональной матрицы. То есть, когда \(A_{ij} = \lambda i\delta_{ij}\), то \(|\mathbf{A}| = \lambda_1\lambda_2\lambda_3\dots \lambda_N\)
   5. Определитель единичной (единичной) матрицы \(|\mathbb{I}| = 1\).
   6. Определитель нулевой матрицы, для которой все матричные элементы равны нулю, \(|\mathbf{0}| = 0\)
   7. Сингулярная матрица имеет определитель, равный нулю.
   8. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) выступает в виде суммы (разности) двух или более величин, то определитель можно записать в виде суммы (разности) двух или более определителей одного порядка. Например, для порядка \(N = 2\), \[\begin{vmatrix} A_{11} \pm B_{11} & A_{12} \pm B_{12} \\ A_{21} & A_{22 } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{vmatrix} \pm \begin{vmatrix} B_{11} & B_ {12} \\ A_{21} & A_{22} \end{vmatrix} \nonumber\] 9T = \frac{1}{ |\mathbf{A}|} \begin{bmatrix} A & D & G \\ B & E & H \\ C & F & I \end{bmatrix} \\ = \frac {1}{a A + bB + cC} \begin{bmatrix} A = (ei − fh) & D = − (bi − ch) & G = (bf − ce) \\ B = − (di − fg) & E = (a i — cg) & H = — (a f — cd) \\ C = (dh — eg) & F = — (a h — bg) & I = (a e — bd) \end{bmatrix} \label {A. {\prime}\) в повернутой штрихованной системе координат. Затем 9{\prime} = [\lambda_i \delta_{ij} ] \label{A.46}\]

      Если все собственные значения различны, т.е. различны, то эта система \(n\) уравнений полностью определяет отношение компоненты каждого собственного вектора вдоль осей системы координат. Однако, когда два или более собственных значения идентичны, приведение к истинной диагональной форме невозможно, и можно свободно выбирать подходящий собственный вектор, ортогональный остальным осям.

      Таким образом, матрица может быть полностью диагонализирована, только если

      (а) все собственные значения различны,

      (б) вещественная матрица симметрична,

      (в) она унитарна.

      Матрицы в классической механике часто применяются для решения системы однородных линейных уравнений вида

      \[\begin{matrix} A_{11}x_1 & +A_{12}x_2 & \dots \dots & + A_{1n}x_n & = & 0 \\ A_{11}x_1 & +A_{12}x_2 & \dots \dots & +A_{1n}x_n & = & 0 \\ \dots .. & \dots \dots & \точки . . & \точки .. & = & \точки . \\ A_{n1}x_1 & +A_{n2}x_2 & \dots .. & +A_{nn}x_n & = & 0 \end{matrix} \label{A.47}\]

      Создание следующих определений

      \[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix} \label{A.48 }\]

      \[\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n \end{pmatrix} \label{A.49}\]

      Тогда множество линейных уравнения могут быть записаны в компактной форме с использованием матриц

      \[\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} =0 \label{A.50}\]

      , которое можно решить с помощью уравнения \ref{A.43}. Убедитесь, что вы можете диагонализовать матрицы с рангом 2 и 3. Вы можете использовать Mathematica, Maple, MatLab или другие подобные математические компьютерные программы для диагонализации матриц большего размера.

      Пример \(\PageIndex{1}\): Собственные значения и собственные векторы вещественной симметричной матрицы

      Рассмотрим матрицу

      \[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\nonumber\]

      Секулярный определитель определяется выражением \ref{A. 42}

      \[\begin{vmatrix} −\lambda & 1 & 0 \\ 1 & −\lambda & 0 \\ 0 & 0 & −\lambda \ end{vmatrix} = 0 \nonumber\]

      Это расширяется до

      \[−\lambda (\lambda + 1)(\lambda − 1) = 0 \nonumber\]

      Таким образом, три собственных значения равны \( \лямбда = −1, 0, 1\).

      Чтобы найти каждый собственный вектор, мы подставляем соответствующее собственное значение в уравнение \ref{A.48}.

      \[\begin{pmatrix} −\lambda & 1 & 0 \\ 1 & −\lambda & 0 \\ 0 & 0 & −\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \nonumber\]

      Собственное значение \(\lambda = −1\) дает \(x + y = 0\) и \(z = 0\). Таким образом, собственный вектор равен \(r_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}, 0)\). Собственное значение \(\lambda = 0\) дает \(x = 0\) и \(y = 0\). Таким образом, собственный вектор равен \(r_2 = (0, 0, 1)\). Собственное значение \(\lambda = 1\) дает \(−x + y = 0\) и \(z = 0\). Таким образом, собственный вектор равен \(r_3 = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)\).