Матрицы равена ответы: Тест Равена. Шкала прогрессивных матриц. Raven Progressiv Matrices. Методики для диагностики интеллекта. — Психология счастливой…

Проблема 1

Какие матрицы ниже равны?

Матрицы №4 и №5 равны.Они имеют одинаковые размеры и одинаковые соответствующие записи.

Проблема 2

Какие матрицы ниже равны?

Матрицы №8 и №9 равны. Они имеют одинаковые размеры и одинаковые соответствующие записи.

Проблема 3

Какие матрицы ниже равны?

Матрицы № 10 и № 11 равны.Матрица № 12 исключена, потому что она не имеет таких же размеров, как две другие. В нем всего две колонки

Если мы знаем, что две матрицы равны, мы можем найти значения переменных в матрицах. Поскольку равные матрицы имеют равные соответствующие элементы, мы можем установить неизвестный элемент в одной матрице равным его соответствующему партнеру в другой матрице.

Чтобы найти значение переменной y в левой матрице, мы просто устанавливаем ее равной соответствующему элементу в правой матрице.

Проблема 4

Решение для переменных в равных матрицах не всегда будет таким простым, как сопоставление переменной с соответствующим номером. Вот немного более сложная проблема: каково значение y?

3y = 33 (установить соответствующие записи равными)
3г ÷ 3 = 33 ÷ 3 N
у = 11

— пояснения и примеры

Эквивалентные матрицы — это матрицы за 2 доллара, которые имеют одинаковый размер и форму. Существуют определенные условия, которые должны выполняться для того, чтобы матрицы были эквивалентны (или равны) друг другу. Прежде всего, давайте проверим определение эквивалентных матриц:

Эквивалентные матрицы — это матрицы, размер (или порядок) которых одинаковы и соответствующие элементы внутри матриц равны.

В этой статье мы рассмотрим, что такое эквивалентные матрицы, что делает матрицы равными 2 $, а также несколько примеров, демонстрирующих использование эквивалентных матриц при решении уравнений.

Что такое эквивалентные матрицы?

Матрицы $ 2 $ считаются эквивалентными , если они удовлетворяют условиям, показанным ниже:

• Каждая матрица имеет одинаковое количество строк
• Каждая матрица имеет одинаковое количество столбцов
• соответствующие элементы (или элементы) каждой матрицы равны друг другу

Все эти 3 $ условия должны быть выполнены , чтобы вызвать две матрицы , эквивалентные , или , равные .

Как определить эквивалентность двух матриц?

Рассмотрим матрицы $ 2 $, показанные ниже:

$ A = \ begin {bmatrix} 3 & {- 1} \\ 6 & 5 \ end {bmatrix} $

$ B = \ begin {bmatrix} 3 & {- 1} \\ 6 & 3 \ end {bmatrix} $

Во-первых, у нас есть матрица $ A $ . Это матрица, которая имеет $ 2 $ строк и $ 2 $ столбцов. Порядок (или размерность) матрицы равен $ 2 \ times 2 $.

Напомним, что мы можем идентифицировать конкретный элемент матрицы с помощью обозначения $ A_ {i j} $, где $ A $ — имя матрицы, $ i $ — номер строки, а $ j $ — номер столбца.Элементы матрицы $ A $:

$ A_ {1 1} = 3 $

$ A_ {1 2} = {- 1}

$ A_ {2 1} = 6 $

$ A_ { 2 2} = 5 $

Во-вторых, у нас есть Matrix $ B $ . Это матрица, которая имеет $ 2 $ строк и $ 2 $ столбцов. Порядок (или размерность) матрицы равен $ 2 \ times 2 $.

Элементы матрицы $ B $:

$ B_ {1 1} = 3 $

$ B_ {1 2} = {- 1} $

$ B_ {2 1} = 6 $

$ B_ {2 2} = 3 $

Чтобы определить, эквивалентна ли матрица $ A $ матрице $ B $ или нет, мы пытаемся удовлетворить условия $ 3 $, которые мы видели ранее.{rd} $ условие: , а не .

Чтобы две матрицы были эквивалентными, нам необходимо выполнить Все условия эквивалентности матриц в размере 3 долларов. Даже если условие $ 1 $ не выполняется, матрицы эквивалентны , а не .

Мы можем решать простые уравнения, используя концепцию эквивалентных матриц. Проверьте матрицы $ 2 $ ниже:

$ M = \ begin {pmatrix} 5 & {- 2} \\ x & 3 \ end {pmatrix} $

$ N = \ begin {pmatrix} 5 & y \\ 6 & 3 \ end {pmatrix} $

Если $ M = N $, можете ли вы найти значения для $ x $ и $ y $?

Поскольку матрица M равна (эквивалентна) матрице N, все соответствующие элементы одинаковы.

Чтобы найти $ x $, мы можем отметить, что:

$ M_ {2 1} = N_ {2 1} $

Таким образом, $ x = 6 $.

Чтобы решить для $ y $, мы можем отметить, что:

$ N_ {1 2} = M_ {1 2} $

Таким образом, $ y = {- 2} $.

Это показало, как мы можем приравнять соответствующие элементы для решения для отдельных переменных, когда две матрицы заданы как равные. Мы можем расширить эту идею и для решения сложных линейных уравнений.

Резюме

Подведем итог тому, что мы узнали:

• Эквивалентные матрицы — это матрицы, размер (или порядок) которых одинаков и соответствующие элементы внутри матриц равны.
• $ 3 $ условия должны быть выполнены, чтобы две матрицы были эквивалентны друг другу.
  • Количество строк в каждой матрице должно быть одинаковым
  • Количество столбцов каждой матрицы должно быть одинаковым
  • Соответствующие элементы каждой матрицы должны быть равны
• Когда нам даны 2 матрицы с неизвестными, мы может приравнять соответствующие элементы в обеих матрицах, чтобы найти единственную переменную, или сформировать уравнение, а затем решить неизвестное.

Ниже мы покажем несколько примеров, поясняющих концепцию эквивалентных матриц и решения простых и сложных линейных уравнений с использованием эквивалентных матриц.

Учитывая приведенные ниже матрицы $ 7 $, ответьте на следующие вопросы true / false :

$ A = \ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 6 & {- 3 } \ end {pmatrix} $

$ B = \ begin {pmatrix} 5 & {- 6} & 0 \\ {- 2} & {6} & 9 \ end {pmatrix} $

$ C = \ begin {pmatrix} 11 & {- 5} & 1 \\ 12 & {- 3} & 1 \\ {0} & {- 9} & 3 \ end {pmatrix} $

$ D = \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \\ g & h \ end {pmatrix} $

$ E = \ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 6 & {- 3} \ end {pmatrix} $

$ F = \ begin {pmatrix} 11 & 12 & 0 \\ {- 5} & {- 3} & {- 9} \\ 1 & 1 & 3 \ end {pmatrix} $

$ G = \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & c \\ g & h \ end {pmatrix} $

1. Верно / Ложно Матрица $ A $ = Матрица $ G $
2. Верно / Неверно Матрица $ B $ = Матрица $ F $
3. Верно / Неверно Матрица $ D $ = Матрица $ G $
4. Верно / неверно Матрица $ A $ = Матрица $ E $
5. Верно / неверно Матрица $ C $ = Матрица $ F $

Решение

Для двух равных (или эквивалентных) матриц , должны быть выполнены следующие условия $ 3 $:

• Количество строк в каждой матрице должно быть одинаковым
• Количество столбцов каждой матрицы должно быть одинаковым
• Соответствующие элементы каждой матрицы должны быть равны

1. Просто взглянув на это, мы можем сказать, что матрицы не равны.Столбец {rd} $ отличается.
   $ D_ {3 3} = f $
   $ G_ {3 3} = c $
   Итак, матрицы не равны.
   Ложь.
2. Эти две матрицы, $ A $ и $ E $, фактически эквивалентны. Условия $ 3 $ выполнены. Оба имеют 2 строки и 2 столбца. Все соответствующие элементы в каждой матрице равны.
   Верно.
3. Каждая матрица состоит из 3 $ строк и 3 $ столбцов. Элементы такие же. НО , строк и столбцов поменяны местами! Все 9 элементов одинаковы, но соответствующих элементов — нет! Таким образом, нельзя сказать, что Matrix $ C $ и Matrix $ F $ эквивалентны.
   Ложь.

Заданная матрица $ T $ = матрица $ S $, вычислить значения $ x $ и $ y $.
$ T = \ begin {bmatrix} 11 & {2 + x} & 1 \\ 12 & {- 3} & 1 \\ {0} & {- 9} & 3 \ end {bmatrix} $

$ S = \ begin {bmatrix} 11 & {- 5} & 1 \\ 12 & {- 3} & 1 \\ {0} & {- 9} & {2y — 3} \ end {bmatrix} $

Решение

И Matrix $ T $, и Matrix $ S $ являются матрицами размером $ 3 \ times 3 $.

Мы знаем, что в эквивалентных матрицах соответствующие элементы равны.

В матрице $ T $, $ T_ {12} = 2 + x $.
В матрице $ S $, $ S_ {12} = -5 $.

Мы можем приравнять обе записи и узнать значение $ x $. Показано ниже:

$ 2 + x = -5 $
$ x = -5-2 $
$ x = -7 $

Сейчас,

В матрице $ S $, $ T_ {33} = 2y — 3 $.
В матрице $ T $, $ S_ {33} = 3 $.

Мы можем приравнять обе записи и узнать значение $ y $. Показано ниже:

$ 2y — 3 = 3 $
$ 2y = 6 $
$ y = 3 $

1. Для матриц от $ A $ до $ E $ укажите, какая пара матриц эквивалентны друг другу.
   $ A = \ begin {bmatrix} -2 & 6 \\ 12 & 5 \\ -3 & 7 \ end {bmatrix} $
   $ B = \ begin {bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -8 \ end {bmatrix} $
   $ C = \ begin {bmatrix} -2 & 4 \\ 13 & 5 \\ -3 & 5 \ end {bmatrix} $
   $ D = \ begin {bmatrix} -2 & 6 \\ 12 & 5 \\ -3 & 7 \ end {bmatrix} $
   $ E = \ begin {bmatrix} 0 & 6 \\ 5 & -8 \ end {bmatrix} $
2. Данная матрица $ J $ = матрица $ K $ , вычислите значения $ a $ и $ b $.
   $ J = \ begin {bmatrix} 11 & 3 & {4a-b} \\ 1 & {- 1} & 1 \\ {0} & {- 3} & -7 \ end {bmatrix} $

   $ K = \ begin {bmatrix} 11 & 3 & 7 \\ 1 & {- 1} & 1 \\ {0} & {-3} & {-a + 2b} \ end {bmatrix} $

1. Внимательно глядя на 5 матриц, мы можем сделать следующие наблюдения:
   • Обе матрицы $ A $ и $ D $ эквивалентны друг другу.Обе они представляют собой матрицы размером $ 3 \ times 2 $, в которых каждая соответствующая запись равна друг другу.
   • Матрицы $ B $ и $ E $ являются матрицами размером $ 2 \ times 2 $. Некоторые из соответствующих им записей равны, но не все. Несмотря на то, что они выглядят одинаково, это не так!
   • Matrix $ C $ выглядит несколько равным Matrix $ A $, но при внимательном наблюдении мы можем сделать вывод, что они не равны.
2. Как Matrix $ J $, так и Matrix $ K $ являются матрицами размером $ 3 \ times 3 $.

   Мы знаем, что в эквивалентных матрицах соответствующие элементы равны.

   В матрице $ J $, $ J_ {13} = 4a-b $.
   В матрице $ K $, $ K_ {13} = 7 $.

   Приравнивая, мы можем написать:

   $ 4a — b = 7 $

   Кроме того,

   В матрице $ J $, $ T_ {33} = -7 $.
   В матрице $ K $, $ S_ {13} = -a + 2b $.

   Приравнивая, мы можем написать:

   $ -a + 2b = -7 $

   Эти 2 уравнения можно решить одновременно, чтобы получить значения $ a $ и $ b $.
   После решения получаем:

   $ a = 1 $ и $ b = -3 $.

Сложение и вычитание матриц — ChiliMath

В этом уроке я подготовил семь (7) рабочих примеров, чтобы проиллюстрировать базовый подход к тому, как легко складывать или вычитать матрицы.

Если вы знаете, как складывать и вычитать действительные числа, эта тема должна быть очень легкой. Единственное, что требуется для «легального» выполнения операций сложения или вычитания в «мире» матриц, — это убедиться, что данные матрицы должны иметь одинаковый размер или размерность.

Что означает, что данная матрица имеет одинаковый размер или размерность?

Предположим, нам даны матрицы A и B. Они имеют одинаковый размер или размерность, потому что у них одинаковое количество строк и столбцов.

Мы можем описать размер или размерность матрицы, используя следующий стандартный формат:

количество строк x количество столбцов

Позвольте мне показать вам несколько примеров…

Последняя матрица размером 5 x 5 также считается «квадратной матрицей», потому что количество строк и количество столбцов равны. Важно знать, что для того, чтобы любая заданная матрица имела обратную, она должна быть квадратной матрицей. Я не говорю, что все квадратные матрицы имеют обратные, но первое требование к матрице, чтобы иметь обратную матрицу, состоит в том, что сначала она должна быть квадратной матрицей.

Ознакомьтесь с моим отдельным руководством о том, как найти обратную матрицу 2 × 2.

Я должен подчеркнуть, что для того, чтобы сложить или вычесть две заданные матрицы, они должны иметь одинаковый размер или размер. В противном случае мы заключаем, что сумма (сложение) или разность (вычитание) двух матриц, имеющих разные размеры или размеры, не определена!

Теперь давайте посмотрим на общее правило того, как складывать и вычитать матрицы, размеры или размеры которых совпадают.

Правила сложения и вычитания матриц одинакового размера или измерения

Предположим, что матрицы A и B имеют две строки и два столбца (2 × 2) с некоторыми произвольными элементами или записями…

«Формулы» для сложения и вычитания матриц показаны ниже…

• Добавьте матрицы , добавив их соответствующие записи

• Вычесть матрицы путем вычитания их соответствующих записей

Давайте поработаем над некоторыми проблемами.

Примеры сложения и вычитания матриц

Пример 1 : Выполните указанную операцию для A + C.

Обратите внимание, что матрицы A и C имеют одинаковый «размер» или «размерность», потому что их количество строк и столбцов одинаково. Оба могут быть описаны как матрица 3 x 3 . Это говорит мне о том, что найти их сумму — это нормально.

Добавлю соответствующие записи и упрощу.

Вот как это просто!

Пример 2 : Выполните указанную операцию для B + F.

Обратите внимание, что матрица B имеет размерность 2 × 3 , а матрица F имеет размерность 2 × 2 .

Поскольку количество строк и столбцов не совпадает, сумма матриц B и F не существует или не определена . Я остановлюсь здесь. Это наш ответ, хотите верьте, хотите нет.

Пример 3 : Выполните указанную операцию для E-B.

Последние два примера показали вам, как складывать матрицы. На этот раз мы поговорим о вычитании матриц.Помните, что процесс сложения и вычитания матриц очень похож. Если вы забыли, просмотрите приведенную выше «формулу».

В этом примере нам нужно найти разницу между матрицей E и матрицей B.

Однако кажется, что это невозможно, поскольку они имеют различных размеров или размеров. Матрица E имеет размер 3 × 2, а матрица B — 2 × 3.

Поскольку я не могу вычесть по входам, из-за того, что записи двух матриц не имеют прямого соответствия, я должен утверждать, что НЕ возможно найти их различие.Следовательно, наш ответ: undefined .

Это не вопрос с подвохом. Учителя иногда «добавляют» это в смесь, чтобы проверить, понимаете ли вы концепцию, согласно которой можно складывать или вычитать только матрицы с одинаковыми размерами или размерами. Не расстраивайтесь, я сам попал в эту «ловушку». Надеюсь, теперь, когда вы знаете, вы будете осторожны в следующий раз, когда столкнетесь с такой проблемой.

Пример 4 : Выполните указанную операцию для F-D.

При быстром просмотре я вижу, что можно найти разницу между матрицами F и D, потому что обе имеют одинаковое количество строк и столбцов.Большой!

Для начала я вычту соответствующие записи F и D. Мое единственное предостережение — будьте очень осторожны при вычитании действительных чисел. Обычно здесь возникают общие ошибки. Помните, что два соседних отрицательных знака оказываются положительными.

Неплохо, правда?

Пример 5 : Выполните указанную операцию для C-A.

Две заданные матрицы C и A имеют одинаковые размеры или размеры (обе матрицы 3 × 3). Это позволяет нам выполнять операцию вычитания.

Вычитая по входу, я получил…

Пример 6 : Выполните указанную операцию для (A + C) + (C-A).

Это отличный пример «многоступенчатой» задачи, которая включает в себя сложение и вычитание матриц. Цель состоит в том, чтобы выполнить указанную операцию над каждой круглой скобкой, а затем добавить их вместе.

Чтобы пропустить некоторые шаги, просмотрите, как мы решили для (A + C) в примере 1 и C-A в примере 5.

Пока у нас есть эти частичные ответы…

Итак, последний шаг — сложить их вместе, чтобы получить требуемый ответ.

Как видите, сложение и вычитание матриц очень просто. Я надеюсь, что вы приобрели некоторую уверенность и знания о том, как с этим справиться.

Пример 7 : Выполните указанную операцию для (A + C) + (C-A).

Это та же проблема, что и в примере 6. Но я хочу решить ее немного иначе, чтобы продемонстрировать тот факт, что есть другие способы решения определенной проблемы. Хотя метод, примененный в примере 6, вполне приемлем, этот «альтернативный» подход имеет гораздо больше смысла, поскольку он очень прост.

Поехали…

Если вы рассматриваете выражение (A + C) + (C-A) как , объединяющее похожие или похожие термины, проблема типа , то имеет смысл быстро упростить исходную задачу, даже не занимаясь сложением и вычитанием матриц.

Обратите внимание, что я могу объединить C-термины как 2C.

Теперь, члены A должны сокращаться, потому что они имеют противоположные знаки.

Наша исходная задача сводится к 2C, что составляет в два раза больше матрицы C .

Это означает, что я собираюсь умножить каждый элемент матрицы C на 2. На самом деле это тема моего другого урока по алгебре, посвященного скалярному умножению матрицы.

С

, то 2C решается с помощью…

Окончательный ответ, полученный с помощью этого метода, точно такой же, как в примере 6. Легко, правда?

Возможно, вас заинтересует:

Скалярное умножение

Умножение матриц

Использование матриц для решения систем уравнений

Матричные уравнения

могут использоваться для компактного написания и работы с системами множественных линейных уравнений.

Цели обучения

Определить, как матрицы могут представлять систему уравнений

Основные выводы

Ключевые моменты

• Если [latex] A [/ latex] является матрицей [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] x [/ latex] обозначает вектор-столбец (то есть [latex] n \ times 1 [/ latex] матрица) [латекс] n [/ latex] переменных [latex] x_1, x_2,…, x_n [/ latex], и [latex] b [/ latex] представляет собой [латекс] m \ times 1 [/ latex ] Вектор-столбец, то матричное уравнение имеет вид: [latex] Ax = b [/ latex].

Ключевые термины

• матрица : прямоугольное расположение чисел или членов, имеющее различное применение, например, преобразование координат в геометрии, решение систем линейных уравнений в линейной алгебре и представление графиков в теории графов.

Матрицы можно использовать для компактного написания и работы с системами уравнений. Как мы узнали в предыдущих разделах, матрицами можно манипулировать так же, как и нормальным уравнением. Это очень полезно, когда мы начинаем работать с системами уравнений.Полезно понять, как организовать матрицы для решения этих систем.

Написание системы уравнений с матрицами

Можно решить эту систему, используя метод исключения или замены, но это также возможно сделать с помощью матричной операции. Прежде чем приступить к настройке матриц, важно сделать следующее:

• Убедитесь, что все уравнения написаны одинаково, то есть переменные должны быть в одном порядке.
• Убедитесь, что одна часть уравнения — это только переменные и их коэффициенты, а другая сторона — просто константы.

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: [latex] X [/ latex] — это матрица, представляющая переменные системы, а [latex] B [/ latex] — матрица, представляющая константы. Используя матричное умножение, мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, как:

[латекс] \ displaystyle A \ cdot X = B [/ латекс]

Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть [latex] A [/ latex] будет матрицей коэффициентов, пусть [latex] X [/ latex] будет переменной матрицей, и пусть [latex] B [/ latex ] — постоянная матрица.

Учитывая систему:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x + 8y & = 7 \\ 2x-8y & = — 3 \ end {align} [/ latex]

Матрица коэффициентов:

[латекс] A = \ begin {bmatrix} 1 & 8 \\ 2 & -8 \ end {bmatrix} [/ latex]

Матрица переменных:

[латекс] \ displaystyle X = \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} [/ latex]

Постоянная матрица:

[латекс] \ displaystyle B = \ begin {bmatrix} 7 \\ -3 \ end {bmatrix} [/ latex]

Таким образом, чтобы решить систему [latex] AX = B [/ latex], для [latex] X [/ latex] умножьте обе стороны на обратную величину [latex] A [/ latex], и мы получим решение:

[латекс] \ Displaystyle X = (A ^ {- 1}) B [/ латекс]

Если существует обратный [латекс] \ left (A ^ {- 1} \ right) [/ latex], эта формула решит систему.

Если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

Матрицы и операции со строками

Две матрицы эквивалентны строкам, если одна может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строками.

Цели обучения

Объясните, как использовать операции со строками и почему они создают эквивалентные матрицы

Основные выводы

Ключевые моменты

• Элементарная операция со строкой — это любое из следующих действий: переключение строк (перестановка двух строк в матрице), умножение строк (умножение строки матрицы на ненулевую константу) или сложение строк (добавление к одной строке). матрицы до некоторого числа, кратного другой строке).
• Если строки матрицы представляют систему линейных уравнений, то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые могут быть выведены алгебраически из уравнений системы.

Ключевые термины

• пространство строки : набор всех возможных линейных комбинаций его векторов-строк.
• эквивалент строки : В линейной алгебре, когда одна матрица может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строкой.

Элементарные операции со строками (ERO)

В линейной алгебре две матрицы эквивалентны строкам, если одна может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строками.В качестве альтернативы, две матрицы [latex] m \ times n [/ latex] эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое пространство строк. Пространство строки матрицы представляет собой набор всех возможных линейных комбинаций ее векторов-строк. Если строки матрицы представляют собой систему линейных уравнений, то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые могут быть выведены алгебраически из уравнений системы. Две матрицы одинакового размера эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда соответствующие однородные системы имеют одинаковый набор решений или, что эквивалентно, матрицы имеют одно и то же нулевое пространство.Поскольку элементарные операции со строками обратимы, эквивалентность строк является отношением эквивалентности. Обычно обозначается тильдой (~).

Операция элементарной строки — это любой из следующих трех ходов:

1. Переключение строк (перестановка): поменять местами две строки матрицы.
2. Умножение строк (масштаб): умножение строки матрицы на ненулевую константу.
3. Сложение строк (сводная): прибавить к одной строке матрицы несколько значений, кратных другой строке.

Создание эквивалентных матриц с использованием элементарных операций со строками

Поскольку матрица по существу является коэффициентами и константами линейной системы, три операции со строками сохраняют матрицу.Например, замена двух строк просто означает изменение их положения в матрице. Кроме того, при решении системы линейных уравнений методом исключения, умножение строк будет таким же, как умножение всего уравнения на число для получения аддитивных обратных величин, так что переменная сокращается. Наконец, добавление строк аналогично методу исключения, когда для получения переменной выбирается сложение или вычитание одинаковых членов уравнений. Следовательно, операции со строками сохраняют матрицу и могут использоваться как альтернативный метод для решения системы уравнений.

Пример 1: Покажите, что эти две матрицы эквивалентны строкам:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ quad B = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \ end {pmatrix} [/ латекс]

Начните с [latex] A [/ latex], добавьте вторую строку к первой:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ latex]

Затем умножьте вторую строку на 3 и вычтите первую строку из второй:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \ end {pmatrix} [/ latex]

Наконец, вычтите первую строку из второй:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \ end {pmatrix} [/ latex]

Вы можете видеть, что [latex] A = B [/ latex], что мы достигли с помощью серии элементарных операций со строками.

Сокращение строк: решение системы линейных уравнений

В редукторе рядов, линейная система:

[латекс] \ displaystyle x + 3y-2z = 5 \\ 3x + 5y + 6z = 7 \ 2x + 4y + 3z = 8 [/ latex]

Представлен в виде расширенной матрицы:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 3 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 8 \ end {pmatrix} [/ latex]

Затем эта матрица модифицируется с использованием операций с элементарными строками до тех пор, пока она не достигнет уменьшенной формы эшелона строк.

Поскольку эти операции обратимы, полученная расширенная матрица всегда представляет собой линейную систему, эквивалентную исходной.

Существует несколько конкретных алгоритмов сокращения строк расширенной матрицы, простейшими из которых являются исключение Гаусса и исключение Гаусса-Жордана. Это вычисление может быть выполнено вручную (с использованием трех типов ERO) или на калькуляторе с использованием матричной функции «rref» (сокращенная форма эшелона строк).

Окончательная матрица представлена ​​в виде сокращенного ряда строк и представляет систему [латекс] x = -15 [/ latex], [latex] y = 8 [/ latex] [latex] z = 2 [/ latex].

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -15 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \ end {pmatrix} [/ latex]

Упрощение матриц с помощью операций со строками

Используя элементарные операции, метод исключения Гаусса приводит матрицы к форме эшелона строк.

Цели обучения

Используйте операции с элементарными строками, чтобы представить матрицу в упрощенном виде

Основные выводы

Ключевые моменты

• Поскольку элементарные операции со строками сохраняют пространство строк матрицы, пространство строк формы эшелона строк такое же, как и у исходной матрицы.
• Существует три типа операций с элементарными строками: поменять местами две строки, умножить строку на ненулевой скаляр и добавить к одной строке скалярное кратное другой.
• На практике обычно не рассматривают системы в терминах уравнений, а вместо этого используют расширенную матрицу (которая также подходит для компьютерных манипуляций).

Ключевые термины

• Расширенная матрица : Матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения одних и тех же элементарных операций со строками для каждой из данных матриц.

С помощью конечной последовательности элементарных операций со строками, называемых исключением по Гауссу, любую матрицу можно преобразовать в форму эшелона строк. Это преобразование необходимо для решения системы линейных уравнений.

Прежде чем углубляться в детали, следует упомянуть несколько ключевых терминов:

• Расширенная матрица : расширенная матрица — это матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения одних и тех же операций с элементарной строкой для каждой из данных матриц.
• Форма верхнего треугольника : квадратная матрица называется верхней треугольной, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Треугольная матрица — это нижнетреугольная или верхнетреугольная матрица. Матрица, имеющая одновременно верхний и нижний треугольники, является диагональной матрицей.
• Элементарные операции со строками : Поменять местами строки, добавить строки или умножить строки.

Исключение по Гауссу

1. Напишите расширенную матрицу для линейных уравнений.
2. Используйте элементарные операции со строками в расширенной матрице [latex] [A | b] [/ latex], чтобы преобразовать [latex] A [/ latex] в форму верхнего треугольника. Если на диагонали находится ноль, переключайте строки, пока на его месте не окажется ненулевое значение.
3. Используйте обратную замену, чтобы найти решение.

Пример 1: Решите систему методом исключения Гаусса:

[латекс] \ displaystyle 2x + y-z = 8 \\ -3x-y + 2z = -11 \ -2x + y + 2z = -3 [/ latex]

Запишите расширенную матрицу:

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \ end {array} \ right] [/ latex]

Используйте элементарные операции со строками, чтобы уменьшить матрицу до уменьшенной формы эшелона строк:

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end {array} \ right ] [/ латекс]

Используя элементарные операции со строками для получения сокращенной формы эшелона строк (‘rref’ в калькуляторе), решение системы отображается в последнем столбце: [latex] x = 2, y = 3, z = -1 [/ latex] .

Все нулевые матрицы равны математике класса 9 CBSE

Полный пошаговый ответ:
Теперь давайте сначала разберемся с концепцией матриц.
Матрица — это не что иное, как прямоугольный массив членов, состоящий из строк и столбцов.
Предположим, что у нас есть матрица с m строками и n столбцами, тогда матрица имеет порядок $ m \ times n $.
Теперь попробуем написать матрицу порядка $ 2 \ times 3 $. Теперь матрица будет иметь 2 строки и 3 столбца.
$ \ left [\ begin {align}
& \ begin {matrix}
1 & 1 & 1 \\
\ end {matrix} \\
& \ begin {matrix}
1 & 1 & 1 \\
\ end {matrix} \\
\ end {align} \ right] $.
Теперь давайте разберемся с концепцией нулевой матрицы. Матрица называется нулевой матрицей, если все ее элементы равны 0.
Следовательно, мы можем сказать, что $ \ left [\ begin {align}
& \ begin {matrix}
0 & 0 & 0 \\
\ end {matrix} \\
& \ begin {matrix}
0 & 0 & 0 \\
\ end {matrix} \\
\ end {align} \ right] $ — это нулевая матрица.
Теперь две матрицы называются одинаковыми, если все записи совпадают. Но мы можем сравнивать только матрицу того же порядка.
Следовательно, предположим, что у нас есть матрица порядка $ 2 \ times 3 $ и другая матрица порядка $ 3 \ times 2 $, тогда мы не можем сравнивать две матрицы.
Теперь, если у нас есть нулевая матрица того же порядка, мы определенно можем сказать, что две матрицы равны. Но если у нас есть две нулевые матрицы разного порядка, то матрицы не равны.
Например, рассмотрим $ \ left [\ begin {align}
& \ begin {matrix}
0 & 0 & 0 \\
\ end {matrix} \\
& \ begin {matrix}
0 & 0 & 0 \ \
\ end {matrix} \\
\ end {align} \ right] $ и $ \ left [\ begin {matrix}
0 & 0 \\
\ end {matrix} \ right] $ обе являются нулевыми матрицами, но не равный.

Примечание:
Теперь обратите внимание, что даже для сложения и вычитания матрицы должны быть одного порядка. Хотя умножение матриц возможно только в том случае, если порядок матриц имеет вид $ m \ times n $ и $ n \ times r $. Также обратите внимание, что деление матриц не определено.

Найти значение X, для которого матрицы A не имеют обратного